江苏省苏州市第五中学高中数学 32二倍角的三角函数学案 苏教版必修4.doc

32二倍角的三角函数

一学习内容要求及建议

知识方法

要求

建议

二倍角的正弦

化归思想

理解

推导二倍角公式的关键在于认识“二倍角”是“和角”的特例，建议地推导公式，体会化归思想

二倍角的余弦

变形升降幂公式

二倍角的正切

化归思想

二预习指导

1预习目标

(1)推导二倍角公式的思想和方法；

(2)二倍角公式以及余弦的二倍角公式的变形(升降幂公式)的记忆和应用；

(3)和差角公式二倍角公式综合应用

2预习提纲

(1)阅读课本P105思考如何推导二倍角正弦余弦正切公式，并探究三倍角正弦余弦正切公式，并填空：

；

；

(所有有意义)注意“倍角”的相对性

(2)阅读课本P107的降幂公式并学会运用降幂公式解题(如P106例3的解法1)，阅读课本P107的例4，学会公式灵活运用

(3)探究：求的值

3典型例题

熟悉公式

例1已知，，求，，的值

分析：先利用同角三角函数的关系求出，再分别套用二倍角正弦余弦公式，注意角的范围

解：∵，∴

∴

，

应用二倍角公式进行化简求值证明等

例2已知，，，求

分析：先求，再求，最后求，注意的范围

解：∵，∴，解得

∴

∴

∵，，，∴

∴又∵∴，∴

∴

例3已知的值

分析：(1)先降幂，再用和差角公式展开,(2)条件展开为关于“”的条件，对需要求值的式子先化简，对“切”化成“弦”，对“”用二倍角公式，注意“”“”“”这三者的关系

解：由得，两边平方得：，

∴，∵∴

=

∴==

==

例4求值：(1)；

(2)；

(3)

分析：(1)由这些角中后一角为前一角的两倍，联想到用正弦的二倍角公式；(2)这是4个正弦的积，且它们的角之间难以看出明显的关系仿(1)将部分正弦化为余弦，用类似(1)的方法解题；(3)注意到与的关系，选择恰当的公式向“同角”方向努力

解：(1)原式==

===

(2)原式==

===

(3)原式=

==

=

升幂降幂公式的应用

降幂公式，特点：降幂同时扩角，当遇到且不需要“平方”时，常考虑该公式

升幂公式，特点：升幂同时缩角，当遇到时，常考虑该公式

例5化简：，

分析：分母显然用升幂公式，分子中的“1”可与结合换成同时对用二倍角公式；也可把“1”与结合用升幂公式同时对也用二倍角公式，公式选择的主要依据依然是“同角”

解：原式==

=∵∴∴∴原式=

例6(1)已知，，求的值；

(2)求函数的最大值

分析：(1)∵∴只要求，将已知两等式平方相加即可；(2)∵不是特殊角∴应先降幂扩角，再用和差角公式展开

解：(1)将，分别平方并相加得：

，即

∴

(2)=

==∴

自我检测

(1)已知，则的值为______________

(2)等腰三角形的一个底角的正弦为，则这个三角形的顶角的正切为_________

(3)不查表求值：

(4)计算：

(5)化简：=__________

(6)求值：(1)；(2)

(7)求证：函数是常数函数

三课后巩固练习

A组

1已知，则的值等于___________

2已知，则

3已知，，则等于_________

4函数的最小值是_____________________

5已知__________

6求值：(1)；(2)；

(3)

7已知，且为锐角，求的值

8已知，，求的值

9若,则=

10若,,则

化简()

B组

12化简为___________

13已知是第____象限角

14设为锐角，若，则的值为

15已知，，则

16求值：（1）；

（2）

17已知，，，则按从小到大的顺序排列为

18函数的值域是____________________

19函数的值域为

20函数在区间上的最大值为1，则的最小值是

21已知函数

(1)求的最小正周期；

(2)求在区上的最大值和最小值

22(1)(2)

(3)(4)

(5)

Ⅰ试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数；

Ⅱ根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论

23设函数

求函数的最大值和最小正周期；

设为的三个内角，若，，且为锐角，求

24已知函数,

(Ⅰ)求函数的最