江苏省苏州市第五中学高中数学 33几个三角恒等式（选讲）学案 苏教版必修4.doc

33几个三角恒等式(选讲)

一学习内容要求及建议

知识方法

要求

建议

和差化积积化和差公式

方程思想

主元思想

代换思想

了解

经历数学探索和发现过程，激发数学发现的欲望和信心，提高三角变换的能力

万能公式半角公式

二预习指导

1预习目标

本小节我们来了解几组三角恒等式，包括有和差化积公式积化和差公式万能公式和半角公式学习重点是了解推导这几组公式的思想方法和推导过程，而不是公式的记忆和灵活应用

2预习提纲

(1)知识准备：掌握两角和与差的三角函数公式，二倍角公式及运用；

(2)阅读课本P1～3了解几个三角恒等式万能公式半角公式的推导与应用

3典型例题

(1)和差化积与积化和差公式：推导思想是方程组思想与代换思想

；

；

；

；

例1求值：(1)；(2)

分析：这两道题都能用以前学过的方法解决(其中(2)可转化为)，也可用和差化积与积化和差公式，比较一下两种方法吧！

解：(1)原式===

(2)原式=

==

===

(2)万能公式

，，

其中就是正切的二倍角公式，，的推导均可在，的基础上构造二次齐次分式，再分子分母同除以得到万能公式的用途是用表示角的任何三角函数值，从而实现了从“多元问题”向“一元问题”的转化

例2(1)已知；

(2)若，求的值

分析：(1)左右两边都用表示出来；(2)若用原来的方法，需将与联立方程组，若用万能公式，只需要将条件与结论都统一成

证明：(1)左边===

右边==∴左边=右边，等式成立

解：(2)设，由已知，化简得

∴==

自我检测

(1)以下推导过程中正确的是

①；

②；

③；

④

(2)利用积化和差公式化简的结果为

(3)在中，若，则的取值范围是

(4)已知，则

(5)如果，则的值为________________

(6)根据及，若，计算

(7)函数的最大值为_________

(8)根据你所掌握的知识，试求出的值

(9)已知，试求出的值

(10)①试用万能公式证明：；

②已知，当为第二象限角时，利用(1)的结论求的值

三课后巩固练习

A组

1已知，则

2化简等于____________________

3若，则的值是__________

4已知，则

5化下式为积的形式：，，__________

6化简：

7已知，且，求的值

B组

8求下列各式的值:

⑴；(2)；

(3)；(4)

9已知，且为锐角，则

10已知，，分别求和的值

已知，且，且

求值：(1)；(2)

C组

12求的值

13求函数的值域

14已知正方形的边长为，在边上分别有点，若，求面积的最小值

知识点

题号

注意点

和差化积与积化和差公式

关注角的变化，三角函数名称的变化，灵活运用公式，实现三角函数式的和谐统一

万能公式

半角公式

综合题

四学习心得

五拓展视野

我们已经学习了倍角公式，该组公式的作用是已知的三角函数值就能求出的三角函数值，若已知的三角函数值，能否求出的三角函数值呢？

在降幂公式，中用“”代“”得，，两边开方可得，，两式相除得：，以上即为半角公式，应用时注意角的所在象限来定符号

另外，正切还有两个不带根号的半角公式：，你能证明它们吗？

例(1)求，，的值；

(2)已知，的终边在第四象限，求，，的值

分析：利用半角公式时，需先判定半角所在象限，从儿确定其符号

解：(1)，

(2)∵的终边在第四象限∴，

∴

当为偶数时，是第二象限角，此时，

，

当为奇数时，是第四象限角，此时，

，