常见的数学模型九PA±PB型最值问题 - 学生版.pdfVIP

常见的数学模型九PA±PB型最值问题

一定直线，同侧两定点

两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB的值最小.

将两定点同侧转化为异侧问题即可解.作点B关于l的对称点B，连结AB，与

直线l的交点即为点P.

【模型运用】

1.[2024·成都]如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3，0)，B(0，2)，过

点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连结PO，PA，则PO＋PA的最小值

为.

第1题图

2.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E是边AB上的一点，且AE

＝1，Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为.

第2题图

3

3

3.如图，在☉O中，☉O的直径AB＝8，，M是AB上一动点，则CM

＝＝

＋DM的最小值是.

第3题图

4.[2023·泸州]如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC

上的动点，当PE＋PF取得最小值时，的值是.

第4题图

2

5.[2024·武威]抛物线y＝a(x－h)＋k交x轴于O，A(4，0)两点，顶点坐标

为B(2，23).C为OB的中点.

第5题图

2

(1)求抛物线y＝a(x－h)＋k的表达式.

(2)如图1，过点C作CH⊥OA，垂足为H，交抛物线于点E.求线段CE的长.

(3)D为线段OA上一动点(O点除外)，在OC右侧作▱OCFD.

①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标.

②如图3，连结BD，BF，求BD＋BF的最小值.

一定点，两定直线

P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN

周长最小.

要使△PMN周长最小，即PM＋PN＋MN的值最小.根据两点之间线段最短，将

三条线段转化到同一直线上即可.

【模型运用】

6.如图，在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC

上的点.当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为()

A.50°B.60°

C.70°D.80°

第6题图

两定点，两定直线

P，Q是∠AOB内部的两定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得四

边形PQNM周长最小.

要使四边形PQNM周长最小，PQ为定值，即求得PM＋MN＋NQ的最小值即可，

即需将线段PM，MN，NQ三条线段尽可能转化在一条直线上，因此想到作点P

关于OA的对称点，点Q关于OB的对称点.

【模型运