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故由克莱姆法则，得唯一解
即曲线方程为1.5.2齐次线性方程组
对于齐次线性方程组(1.5.5)定理1.5.2如果齐次线性方程组(1.5.5)的系数行列式D≠0，则它仅有零解。
例1.5.3λ取何值时，齐次线性方程组有非零解？解由定理1.5.2可知，若该齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式D=0，而例1.4.1试按第三列展开计算行列式解将D按第三列展开，则有D=a13A13+a23A23+a33A33
+a43A43，其中a13=3，a23=1，a33=-1，a43=0。所以D=3×19+1×(-63)+(-1)×18+0×(-10)=-24。
例1.4.2计算行列式解
例1.4.3设D中元素aij的余子
式和代数余子式依次记做Mij和Aij，求A11+A12+A13+A14及M11+M21+M31+M41。解注意到A11+A12+A13+A14等于用1，1，1，1代替D的第1行所得的行列式，即又按定义知
例1.4.4计算解按第1行展开，有以此做递推公式，即得例1.4.5计算n阶行列式(其中xi≠0，i=1，2，…，n)。解方法一方法二
构造n+1阶行列式例1.4.6证明范德蒙德(Vandermonde)行列式(1.4.6)证用数学归纳法.因为为此，设法把Dn降阶，即从第n行开始，后行减去前行的x1倍，有按第1列展开，并把每列的公因子(xi-x1)提出，就有上式右端的行列式是n-1阶范德蒙德行列式，按归纳法假设，它等于所有(xi-xj)因子的乘积，其中n≥i≥j≥2.故例1.4.7求方程
的根。解由行列式的定义知，D=0是x的三次方程，又是四阶范德蒙德行列式的转置，D=0的充要条件是D中有两行元素相同，所以D=0的三个根分别是x=-1，2，1。形如
(1.5.1)1.5克莱姆法则1.5.1非齐次线性方程组
n元线性方程组与二、三元线性方程组相类似，它的解可以用n阶行列式表示，即有
定理1.5.1(克莱姆法则)如果线性方程组(1.5.1)的系数行列式不等于零，即那么，方程组(1.5.1)有唯一解(1.5.2)其中，Dj(j=1，2，…，n)是将系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即证用D中第j列元素的代数余子式A1j，A2j，…，Anj
依次乘方程组(1.5.1)的n个方程，再把它们相加，得根据代数余子式的性质可知，式(1.5.3)中xj的系数等于D，而其余xi(i≠j)的系数均为0；又等式右端即是Dj，于是(1.5.3)(1.5.4)例1.5.1用克莱姆法则求解线性方程组:解例1.5.2设曲线y=a0+a1x+a2x2+a3x3通过四点(1，3)、(2，4)、(3，3)、(4，-3)，求系数a0，a1，a2，a3。
解把四个点的坐标代入曲线方程，得线性方程组其系数行列式而类似地，计算可得性质5若行列式的某一行(列)的元素都是两元素之和，则此行列式可以写成两个行列式之和。
例如，某行列式第j列的元素都是两数之和:则D等于下列两个行列式之和:性质6把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变，即(1.3.1)例1.3.1设解利用行列式性质，有例1.3.2计算解例1.3.3计算解这个行列式的特点是各列4个数之和都是6。现把第2，3，4行同时加到第1行，提出公因子6，然后各行减去第一行:例1.3.4计算解根据行列式的特点，可将第1列加至第2列，然后将第2列加至第3列，再将第3列加至第4列，目的是使D4中的零元素增多.例1.3.5计算n阶行列式解该行列式具有各行元素之和相等的特点，可将第2，3，…，n列都加到第1列，则第1列的元素相等，再进一步化简.例1.3.
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