八年级数学上册勾股定理的逆定理（八大题型）（原卷版）.docxVIP

（苏科版）八年级上册数学《第3章勾股定理》

3.2勾股定理的逆定理

知识点一

知识点一

勾股定理的逆定理

●勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.

我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理.

◆1、用勾股定理判定直角三角形的步骤：

①先确定最长边，算出最长边的平方；

②计算另两边的平方和；

③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形，且最长边所对的角就是直角，否则不是直角三角形.

◆2、勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系：

勾股定理

勾股定理的逆定理

条件

在Rt△ABC中，∠C=90°

在△ABC中，a2+b2=c2

结论

a2+b2=c2

∠C=90°

区别

勾股定理是一个直角三角形为条件进而得到三边满足的数量关系a2+b2=c2，是由“形”到“数”.

勾股定理的逆定理的是以一个三角形的三边满足a2+b2=c2为条件进而得到这个三角形是直角三角形,即由“数”到“形”.

联系

两者都与三角形的三边有关系.

知识点二

知识点二

勾股数

●勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．

◆1、三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．

◆2、一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．

◆3、记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…

◆4、判断一组数是否为勾股数的一般步骤：

①确定是否为三个正整数a，b，c;

②确定最大数c；

③计算较小两数的平方和是否等于c2;

④若相等，则这三个数是一组勾股数，否则不是一组勾股数.

题型

题型一利用三边关系判定直角三角形

【例题1】在△ABC中，BC＝a，AB＝c，AC＝b，则不能作为判定△ABC是直角三角形的条件的是（）

A．∠C＝∠A﹣∠B B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5

C．a：b：c＝3：4：5 D．（a+b）（a﹣b）＝c2

解题技巧提炼

判断一个三角形时否是直角三角形有两种方法：

（1）定义法，利用定义即如果已知条件与角度有关，可借助三角形的内角和定理判断；

（2）利用直角三角形的判定条件，即若已知条件与边有关，一般通过计算得出三边的数量关系（即a2+b2＝c2）来判断，看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方.

【变式1-1】（2022秋?大渡口区校级期末）下列给出的四组数中，能构成直角三角形三边的一组是（）

A．5，12，14 B．6，8，9 C．7，24，25 D．8，13，15

【变式1-2】（2022秋?绿园区校级期末）木工师傅想利用木条（单位都为：米）制作一个直角三角形的工具，那么下列各组数据不符合直角三角形的三边长的是（）

A．1，2，3 B．3，4，5 C．7，24，25 D．9，12，15

【变式1-3】已知a，b，c是△ABC的三条边，满足下列条件仍不能判断△ABC是直角三角形的是（）

A．b2﹣c2＝a2 B．a：b：c＝5：12：13

C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠C＝∠A﹣∠B

【变式1-4】△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列结论中不正确的是（）

A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形，且c是斜边

B．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形，且∠B是直角

C．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC是直角三角形，且∠C是直角

D．a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形，且c是斜边

【变式1-5】已知a，b，c是△ABC的三边长，根据下列条件，判断△ABC是不是直角三角形．

（1）a＝11，b＝31，c＝21；

（2）a＝m2﹣n2，b＝m2+n2，c＝2mn（m＞n，m，n为正整数）．

【变式1-6】（2022秋?埇桥区期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．

（1）求AD的长；

（2）判断△ABC的形状，并说明理由．

题型二

题型二根据三边满足的关系式判断三角形的形状

【例题2】（2022秋?市中区校级月考）若三角形的三边满足|c2﹣a2﹣b2|+（a﹣b）2＝0，则此三角形的形状是．

解题技巧提炼

解题过程中主要运用了非负数的性质和勾股定理的逆定理，已知三角形三边长，判断三角形是否为直角三角形，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.

【变式2-1】（2022春?岚皋县期末）已知三角形三边长为a，b，c，如果（a﹣6）2+|b﹣10|+（c﹣8）2

A．以a为斜边的直