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西南大学附中2022—2023学年度下期期末考试
高一数学试题
(满分:150分;考试时间:120分钟)
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.
2.答选择题时,必须使用2B铅笔填涂;答非选择题时,必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写;必须在题号对应的答题区域内作答,超出答题区域书写无效;保持答卷清洁、完整.
3.考试结束后,将答题卡交回(试题卷学生保存,以备评讲).
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若,则()
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由直接求解即可复数即可
【详解】由,得,
,
故选:C
2.中,角的对边分别为,若,,,则()
A.30° B.60° C.120° D.150°
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件,利用正弦定理解三角形即可.
【详解】在中,由正弦定理得:
,
而,则在中有,
所以.
故选:A.
3.若平面和直线,满足,,则与的位置关系一定是()
A.相交 B.平行 C.异面 D.相交或异面
【答案】D
【解析】
【分析】当时与相交,当时与异面.
【详解】当时与相交,当时与异面.
故答案为D
【点睛】本题考查了直线的位置关系,属于基础题型.
4.若向量,满足,,,则()
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】
【分析】对两边平方化简结合已知可求得结果.
【详解】因为,,,
所以,
所以,解得,
故选:C
5.正四棱台的上、下底面边长分别为2,4,侧棱长为3,则该四棱台的体积为()
A. B. C. D.56
【答案】A
【解析】
【分析】根据正四棱台的性质和已知先求高,然后由棱台的体积公式可得.
【详解】连接AC,,作平面ABCD,由正四棱台性质可知点E在AC上,
因为正四棱台的上、下底面边长分别为2,4,
所以,
易知四边形为等腰梯形,所以,
所以,
因为上下底面面积分别为:,
所以四棱台的体积为.
故选:A
6.△ABC中,D为AB上一点且满足,若P为线段CD上一点,且满足(,为正实数),则的最小值为()
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意结合三点共线的结论可得,再根据基本不等式运算求解.
【详解】因为P为线段CD上一点,则,且,
又因为,可得,即,
所以,
可得,
当且仅当,即时,等号成立,
所以的最小值为4.
故选:B.
7.M为△ABC所在平面内一点,且,则动点M的轨迹必通过△ABC的()
A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心
【答案】C
【解析】
【分析】设边的中点为,结合向量的线性运算法则化简向量等式可得,由数量积的性质可得,由此可得结论.
【详解】设边的中点为,
因为,
所以,
所以,
所以,
所以,
所以,又点为边的中点,
所以点在边的垂直平分线上,
所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心,
故选:C.
8.在四棱锥P?ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,AB=1,,E为PD的中点,点N在平面PAC内,且NE⊥平面PAC,则点N到平面PAB的距离为()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点作,证得平面,取的中点,连接,证得平面,过点作,证得平面,从而得到平面,得到为点到平面的距离,结合,即可求解.
【详解】如图所示,过点作,垂足为,
因为平面,且平面,所以,
又因为,且平面,所以平面,
取的中点,连接,因为为的中点,可得,所以平面,
过点作,因为四边形为矩形,可得,
因为平面,且平面,所以,
又因为,且平面,所以平面,
取的中点,连接,因为为的中点,所以,所以平面,
即为点到平面的距离,
在矩形中,因为,可得,
则,可得,
又由,可得,解得,
又由,即点到平面的距离为.
故答案为:.
二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知圆锥顶点为,底面圆心为,为底面的直径,,与底面所成的角为,则()
A. B.该圆锥的母线长为
C.该圆锥的体积为 D.该圆锥的侧面积为
【答案】AB
【解析】
【分析】由线面角的定义可得出,可求得的长,可判断A选项;分析可知是等边三角形,可判断B选项;利用锥体的体积公式可判断C选项;求出该圆锥的侧面积,可判断D选项.
【详解】对于A选项,如下图所示:
由圆锥的几何性质可知,与圆所在的底面垂直,
所以,与底面所成的角为,即
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