重难点05 圆的综合压轴题（6大题型+满分技巧+限时分层检测）（解析版）.docxVIP

重难点05圆的综合压轴题

中考数学中《圆的综合压轴题》部分主要考向分为六类：

一、圆中弧长和面积的综合题

二、圆与全等三角形的综合题

三、圆的综合证明问题

四、圆与等腰三角形的综合题

五、圆的阅读理解与新定义问题

六、圆与特殊四边形的综合题

圆的综合问题是中考数学中的压轴题中的一类，也是难度较大的一类，所以，对应的训练很有必要。

考向一：圆中弧长与面积的综合题

1．（2023?河北）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH．

计算：在图1中，已知MN＝48cm，作OC⊥MN于点C.

（1）求OC的长．

操作：将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM＝30°时停止滚动．如图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D．

探究：在图2中．

（2）操作后水面高度下降了多少？

（3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与的长度，并比较大小．

【分析】（1）连接OM，利用垂径定理得出MC＝MN＝24cm，由勾股定理计算即可得出答案；

（2）由切线的性质证明OE⊥GH，进而得到OE⊥MN，利用锐角三角函数的定义求出OD，再与（1）中OC相减即可得出答案；

（3）由半圆的中点为Q得到∠QOB＝90°，得到∠QOE＝30°，分别求出线段EF与的长度，再相减比较即可．

【解答】解：（1）连接OM，

∵O为圆心，OC⊥MN于点C，MN＝48cm，

∴MC＝MN＝24cm，

∵AB＝50cm，

∴OM＝AB＝25cm，

在Rt△OMC中，OC＝＝＝7（cm）；

（2）∵GH与半圆的切点为E，

∴OE⊥GH，

∵MN∥GH，

∴OE⊥MN于点D，

∵∠ANM＝30°，ON＝25cm，

∴，

∴操作后水面高度下降高度为：；

（3）∵OE⊥MN于点D，∠ANM＝30°，

∴∠DOB＝60°，

∵半圆的中点为Q，

∴，

∴∠QOB＝90°，

∴∠QOE＝30°，

∴EF＝tan∠QOE?OE＝（cm），

的长为（cm），

∵＝＞0，

∴EF＞．

2．（2023?乐山）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动．

【问题情境】

刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：

如图1，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达的位置△AB′C′的位置，那么可以得到：

AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；

∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′．（_____）

刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学．

【问题解决】

（1）上述问题情境中“（_____）”处应填理由：旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；

（2）如图2，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A′B′C′的位置．

①请在图中作出点O；

②如果BB′＝6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为cm；

【问题拓展】

小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置．另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图3所示，请你帮助小李解决这个问题．

【分析】【问题解决】

（1）由旋转的性质即可知答案为旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；

（2）①作线段BB，AA的垂直平分线，两垂直平分线交于O，点O为所求；

②由∠BOB＝90°，OB＝OB，可得OB＝＝3，再用弧长公式可得答案；

【问题拓展】

连接PA，交AC于M，连接PA，PD，AA，PB，PC，求出AD＝＝＝，DM＝AD＝，可得S△ADP＝××4＝；S扇形PAB＝＝，证明△PB′D≌△PCD（SSS）可知阴影部分关于PD对称，故重叠部分面积为2（﹣）＝（cm2）．

【解答】解：【问题解决】

（1）根据题意，AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′的理由是：旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等，

故答案为：旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；

（2）①如图：

作线段BB，AA的垂直平分线，两垂直平分线交于O，点O为所求；

②∵∠BOB＝90°，OB＝OB，

∴△BOB是等腰直角三角形，

∵BB＝6，

∴OB＝＝3，

∵＝（cm），

∴点B经过的路径长为cm，

故答案为：cm；

【问题拓展】

连接PA，交AC于M，连接PA，PD，AA，PB，PC，如图：

∵点P为中点，

∴∠