八年级数学上册勾股定理的简单应用（十大题型）（原卷版）.docxVIP

（苏科版）八年级上册数学《第3章勾股定理》

3.3勾股定理的简单应用

知识点

知识点

勾股定理的简单应用

利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明题，在解决过程中，往往利用勾股定理列方程（组），有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化非直角三角形为直角三角形来解决.

◆勾股定理应用的类型：

（1）已知直角三角形的任意两边长求第三边长；

（2）已知直角三角形的一边长确定另两边长的关系；

（3）对于一些非直角三角形的几何问题和日常生活中的实际问题，首先要建立直角三角形的模型，然后利用勾股定理构建方程或方程组解决.

【注意】勾股定理的应用的前提条件必须是直角三角形，所以要应用勾股定理必须构造直角三角形.

题型

题型一应用勾股定理解决梯子滑落问题

【例题1】（2023春?南岗区期中）如图，一架5米长的梯子AB，斜靠在一堵竖直的墙AO上，这时梯顶A距地面4米，若梯子沿墙下滑1米，则梯足B外滑（）米．

A．0.6 B．0.8 C．1 D．2

【分析】由勾股定理得BO＝3米，再由勾股定理得DO＝4米，即可解决问题．

【解答】解：如图，

由题意可知，AB＝CD＝5米，∠AOB＝90°，AC＝1米，

在Rt△ABO中，由勾股定理得：BO=AB

在Rt△COD中，CO＝AO﹣AC＝4﹣1＝3（米），

由勾股定理得：DO=CD

∴BD＝DO﹣BO＝4﹣3＝1（米）．

即梯足B外滑1米，

故选：C．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出BO和DO的长是解题的关键．

【变式1-1】如图，一架梯子AB长10米，底端离墙的距离BC为6米，当梯子下滑到DE时，AD＝2米，则BE＝米．

【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理得出AC，进而得出DC，利用勾股定理得出CE，进而解答即可．

【解答】解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，可得：AC=AB

∴DC＝AC﹣AD＝8﹣2＝6（米），

在Rt△DCE中，CE=DE

∴BE＝CE﹣BC＝8﹣6＝2（米），

故答案为：2．

【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中正确的使用勾股定理求CE的长度是解题的关键．

【变式1-2】（2023春?南部县校级期末）如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝2m．若梯子的顶端沿墙下滑0.5米，这时梯子的底端也恰好外移0.5米，则梯子的长度AB为（）

A．2.5m B．3m C．1.5m D．3.5m

【分析】设BO＝xm，由勾股定理得AB2＝22+x2，CD2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2，则22+x2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2，求出x＝1.5，即可解决问题．

【解答】解：设BO＝xm，

依题意得：AC＝0.5m，BD＝0.5m，AO＝2m．

在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB2＝AO2+OB2＝22+x2，

在Rt△COD中，根据勾股定理得：CD2＝CO2+OD2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2，

∴22+x2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2，

解得：x＝1.5，

∴AB=22+1．

即梯子的长度AB为2.5m，

故选：A．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，由AB＝CD得出方程是解题的关键．

【变式1-3】（2023春?梁园区期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5m，则小巷的宽为（）

A．2m B．2.5m C．2.6m D．2.7m

【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理计算出AB的长，再在Rt△A′BD中由勾股定理计算出BD长，然后可得CD的长．

【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=AC2+

∴A′B＝AB＝2.5米，

在Rt△A′BD中，由勾股定理得：BD=AB2

∴CD＝BC+BD＝2+0.7＝2.7（m），

即小巷的宽为2.7米，

故选：D．

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

题型二

题型二应用勾股定理解决旗杆高度问题

【例题2】（2022春?同心县校级期中）如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面6米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部8米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？

【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再由旗杆高度＝AB+BC即可解答．

【解答】解：∵旗杆剩余部分、折断部分与地面正好构成直角三角形，

∴BC=AB

∴旗杆的高＝AB+BC＝6+10＝16（米）．

答：这根旗杆被吹断裂前至少有16米高．

【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的应用，解答此题的关键是从题中