与二次函数有关问题的压轴题之六大题型(解析版).docxVIP

专题06与二次函数有关问题的压轴题之六大题型

目录

TOC\o1-3\h\u【题型一二次函数图象和性质之选择题】 1

【题型二二次函数的图象与系数的关系】 4

【题型三二次函数图象和性质之解答题】 8

【题型四二次函数与几何图形的综合问题】 14

【题型五二次函数中的新定义型问题】 25

【题型六实际问题与二次函数的综合问题】 32

【典型例题】

【题型一二次函数图象和性质之选择题】

例题：（2023·浙江宁波·统考中考真题）已知二次函数，下列说法正确的是(???)

A．点在该函数的图象上

B．当且时，

C．该函数的图象与x轴一定有交点

D．当时，该函数图象的对称轴一定在直线的左侧

【答案】C

【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．

【详解】解：∵，

当时：，

∵，

∴，

即：点不在该函数的图象上，故A选项错误；

当时，，

∴抛物线的开口向上，对称轴为，

∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，

∵，，

∴当时，有最大值为，

当时，有最小值为，

∴，故B选项错误；

∵，

∴该函数的图象与x轴一定有交点，故选项C正确；

当时，抛物线的对称轴为：，

∴该函数图象的对称轴一定在直线的右侧，故选项D错误；

故选C．

【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．

1．（2023·浙江杭州·统考一模）已知二次函数，y与x的部分对应值为：

x

…

0

1

y

…

2

3

2

关于此函数的图象和性质，下列说法正确的是（????）

A．当时，函数图象从左到右上升 B．抛物线开口向上

C．方程的一个根在与之间 D．当时，

【答案】C

【分析】根据表格数据知道函数图象关于对称，顶点为，所以图象的开口向下，则可以判断选项A、B、D错误；根据图象与轴的交点，即可判断C选项正确．

【详解】解：和时的函数值相同，都是2，

抛物线的对称轴为，

抛物线的顶点为，

是函数最大值，

抛物线的开口向下，故B选项错误；

当时，随的增大而减小，即函数图象从左到右下降，故A选项错误；

时，，时，，

方程的一个根在与之间，故C选项正确；

函数图象关于对称，????

与的值相等，

时，，故D选项错误．

故答案选C．

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．

2．（2023·浙江杭州·统考二模）已知y关于x的二次函数，下列结论中正确的序号是（????）

①当时，函数图象的顶点坐标为；

②当m≠0时，函数图象总过定点：

③当时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于；

④若函数图象上任取不同的两点、，则当时，函数在时一定能使成立．

A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④

【答案】A

【分析】求出当时，二次函数图象的顶点坐标即可判断①；当m≠0时，二次函数，当时，y的值与m无关，求出x的值，即可得到定点，即可判断②；求出，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于；即可判断③；当时，抛物线的对称轴为，则抛物线开口向下，当时，只有当对称轴在右侧时，y才随x的增大而减小，即成立，即可判断④．

【详解】解：当时，二次函数，此时函数图象的顶点坐标为，故①正确；

当m≠0时，二次函数，

当时，y的值与m无关，

此时，，

当时，，当时，，

∴函数图象总过定点，：故②正确；

当时，，

∵，

∵，

∴，

∴当时，

∴，

∴函数图象在x轴上截得的线段的长度大于；故③正确；

函数图象上任取不同的两点、，则

当时，抛物线的对称轴为，

∴抛物线开口向下，

当时，只有当对称轴在右侧时，y才随x的增大而减小，即成立，故④错误，

综上可知，正确的是①②③，

故选：A

【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，主要考查了函数图象上的点的坐标特征，要求非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等坐标的求法及这些点代表的意义及函数特征．

【题型二二次函数的图象与系数的关系】

例题：（2023·浙江·一模）如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（????）

??

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】利用抛物线图像与性质进行判断，根据函数图像开口方向确定，对称轴及确定，函数图像与轴交点的确定，取特殊点代入函数，根据函数图像确定关于、、代数式的正负即可．

【详解】解：抛物线与轴有个交点，

，

，故①正确；

当时，，

，故②错误；

抛物线开口向下，抛物线与轴交于正半轴，

，

抛物线的对称轴为直线

，故③正确；

当时，，即，

，

，故④正确；

故选：C．

【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，掌握二次函数的系数、、与抛物线图像的位置关系是解题的关键，熟记一些特殊的自变量值所对应的代数式，如本题出现的时，，再结合图像确定函数的取