西北工业大学《概率论与数理统计》6-2_估计量的评价标准.docxVIP

概率论与数理统计

概率论与数理统计

第二节估计量的评价标准

一、问题的提出

二、无偏估计

三、最小方差无偏估计

回四、有效估计

回

停五、相合估计(一致估计)

停

下

究竟采用哪一个估计量更好呢？这就产生了如何评价与比较估计量的好坏的问题，我们从估计量的数学期望及方差这两个数字特征出发，引入无偏估计，最小方回差无偏估计，有效估计和相合估计等概念。停下

究竟采用哪一个估计量更好呢？这就产生了如何评价与比较估计量的好坏的问题，我们从估计量的数学期望及方差这两个数字特征出发，引入无偏估计，最小方回差无偏估计，有效估计和相合估计等概念。

停

下

一、问题的提出一

一、问题的提出

对于总体分布中的同一个未知参数,θ

若采用不同的估计方法，可能得到不同的

估计量。

E()=θ二、无偏性设=(

E()=θ

二、无偏性

设=(X1，X2，?,Xn)是参数θ的一个

估计量，如果E()=θ

则称是θ的无偏估计(量).

如果θ的一列估计=(X1，X2，?,Xn)(n=1，2，…)，满足关系式

则称是θ的渐近无偏估计量.

估计量如果不是无偏估计量,就称这个估

计量是有偏的，称E()?θ为估计量的偏差.

例1设总体X的一阶和二阶矩存在，分布是任意的，记E(X)=μ

例1设总体X的一阶和二阶矩存在，分布是任意的，记E(X)=μ,D(X)=σ2，则样本均值X

是μ的无偏估计，样本方差S是σ2的渐近无偏

估计，修正样本方差S2是σ2无偏估计.

证明

所以，X和S2均为无偏估计量，而

故S是σ2的渐近无偏估计.

例2设总体X服从区间[0,θ]上的均匀分布,(

例2设总体X服从区间[0,θ]上的均匀分布,(X1，X2，?,Xn)是总体X的一个样本.

试证：参数θ是矩估计量,=2X是θ的无偏

估计;θ的最大似然估计Xi=X是

θ的渐近无偏估计.

证明

故θ的矩估计是无偏估计量.

≤θ所以是θ的有偏估计量.

≤θ

所以是θ的有偏估计量.

但是,

即是θ的渐近无偏估计量.

但只要修正为

那么也是θ的无偏估计量.

一个未知参数可能有不止一个无偏估计量.设α1和α2为满足α1+

一个未知参数可能有不止一个无偏估计量.

设α1和α2为满足α1+α2=1的任意常数,则

α1+α2都是无偏估计量.

有时一个参数的无偏估计可能不存在.

例如，设总体X~N(θ,1),则|θ|就没有无偏

估计.其中E

有时无偏估计可能明显不合理.例如，设X1是来自泊松总体P(λ)的一个样本，可以证明(

有时无偏估计可能明显不合理.

例如，设X1是来自泊松总体P(λ)的一个样本，可以证明(?2)X1是e?3λ的无偏估计.

但这个无偏估计明显不合理.当X1取奇

数值时，估计值为负数.用一个负数估计e?3λ,

明显不合理.

备用题

三、最小方差无偏估计

例3设总体X的方差D(X)存在,且

例3设总体X的方差D(X)存在,且D(X)0,(X1,X2,…,Xn)为来自总体X的样本,试选择适

当的常数C,使得

为D(X)的无偏估计.

n?1而X1,X2,…,

n?1

而X1,X2,…,Xn相互独立,且与X同分布

:E(Xi)=E(X),D(Xi)=D(X)(i=1,2,…,n)

D(Xi+1?Xi)=D(Xi+1)+D(Xi)=2D(X)

E(Xi+1?Xi)=E(Xi+1)?E(Xi)=0

依题意，即C.

依题意，

即C.2(n?1)D(X)=D(X)

三、最小方差无偏估计定义6.3设和2均为θ的无偏估计量

三、最小方差无偏估计

定义6.3设和2均为θ的无偏估计量,若对任意

样本容量n有D(θ?1)D(θ?2),则称1比2有效.

如果存在θ一个无偏估计量,使对θ的任意无偏

估计量,都有

D()D()

则称是θ的最小方差无偏估计(量).

缩写为MVUE

例4设总体X服从区间[0，θ]上的均匀分布,(X

例4设总体X服从区间[0，