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第四讲数学思维的开拓性
一、概述
数学思维开拓性指的是对一个问题能从多方面考虑;对一个对象能从多种角度观察;对一个题目能想出多种不同的解法,即一题多解。
“数学是一个有机的整体,它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。我们在学习每一分支时,注意了横向联系,把亲缘关系结成一张网,就可覆盖全部内容,使之融会贯通”,这里所说的横向联系,主要是靠一题多解来完成的。通过用不同的方法解决同一道数学题,既可以开拓解题思路,巩固所学知识;又可激发学习数学的兴趣和积极性,达到开发潜能,发展智力,提高能力的目的。从而培养创新精神和创造能力。
在一题多解的训练中,我们要密切注意每种解法的特点,善于发现解题规律,从中发现最有意义的简捷解法。
数学思维的开拓性主要体现在:
(1)一题的多种解法
例如已知复数z满足|z|=1,求|z—i|的最大值。
我们可以考虑用下面几种方法来解决:
①运用复数的代数形式;
①运用复数的三角形式;
①运用复数的几何意义;
①运用复数模的性质(三角不等式)||z1|—|z2||≤|z1—z2|≤|z1|+|z2|;
①运用复数的模与共轭复数的关系|z|2=z.z;
①(数形结合)运用复数方程表示的几何图形,转化为两圆|z|=1与|z—i|=r有公共点时,r的最大值。
(2)一题的多种解释
例如,函数式ax2可以有以下几种解释:
①可以看成自由落体公式gt2.
①可以看成动能公式.
①可以看成热量公式Q=RI2.
又如“1”这个数字,它可以根据具体情况变成各种形式,使解题变得简捷。“1”可以变换为:logaa,,sin2x+cos2x,(logab).(logba),sec2x—tg2x,等等。
1.思维训练实例
例1已知a2+b2=1,x2+y2=1.求证:ax+by≤1.
分析1用比较法。本题只要证1-(ax+by)≥0.为了同时利用两个已知条件,只需要观察到两式相加等于2便不难解决。
证法1I1-
所以ax+by≤1.
分析2运用分析法,从所需证明的不等式出发,运用已知的条件、定理和性质等,得出正确的结论。从而证明原结论正确。分析法其本质就是寻找命题成立的充分条件。因此,证明过程必须步步可逆,并注意书写规范。
证法2要证ax+by≤1.
只需证1-(ax+by)≥0,
即2-2(ax+by)≥0,
因为a2+b2=1,x2+y2=1.
所以只需证(a2+b2+x2+y2)-2(ax+by)≥0,
即(a-x)2+(b-y)2≥0.
因为最后的不等式成立,且步步可逆。所以原不等式成立。
ly
M·d
O
x
图4-2-1
分析3运用综合法(综合运用不等式的有关性质以及重要公式、定理(主要是平均值不等式)进行推理、运算,从而达到证明需求证的不等式成立的方法)
证法3Iax≤,by≤.:ax+by≤
即ax+by≤1.
分析4三角换元法:由于已知条件为两数平方和等于1的形式,符合三角函数同角关系中的平方关系条件,具有进行三角代换的可能,从而可以把原不等式中的代数运算关系转化为三角函数运算关系,给证明带来方便。
证法4Ia2+b2=1,x2+y2=1,:可设
:a=sinα,b=cosα.x=sinβ,y=cosβ
:ax+by=sinαsinβ+cosαcosβ=cos(α-β)≤1,
分析5数形结合法:由于条件x2+y2=1可看作是以原点为圆心,半径为1
的单位圆,而ax+by=.联系到点到直线距离公式,可得下面证法。
证法5(如图4-2-1)因为直线l:ax+by=0经过圆x2+y2=1的圆心O,所以圆上
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