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北师大版九年级上册数学

第一章特殊平行四边形

1.2矩形的性质与判定(1)

边：对边平行且相等.

角：对角相等.邻角互补对角线：对角线互相平分

对称性：是中心对称图形.

知识回顾

平行四边形的性质

新知探索

利用一个活动的平行四边形教具演示，使平行

四边形的一个内角变化，请同学们注意观察：

五当这个内角变成直

角时，平行四边形变成了什么图形?

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

矩形有什么性质呢?

A

平行四边形

C

矩形的定义：

A

D

有一个角

是直角

B

D

矩形

C

B

探究矩形的性质矩形是不是平行四边形?

矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。

边：对边平行且相等.

矩形的

角：对角相等.邻角互补

一般性质

对角线：对角线互相平分.

对称性：是中心对称图形.

矩形还具有哪些特殊的性质呢?

对称性：矩形是轴对称图形，

它有2条对称轴

角：矩形的四个角都是直角

证明!

对角线：矩形的对角线相等

矩形的特殊性质

证明矩形的四个角都是直角

已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠B=90°

求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=∠D,∠C=∠A,AB//DC.

∴∠B+∠C=180°.

又∵∠B=90°,

∴∠C=90°.

∴∠B=∠C=∠D=∠A=90°.

求证：AC=BD;

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°

在△ABC和△DCB中，

AB=DC,

∠ABC=∠DCB

证明矩形的对角线相等

已知：如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点0.

.∴.△ABC≌△DCB.

.∴.AC=DB.

BC=CB,

边：对边平行且相等.

角：四个角都是直角

对角线：对角线互相平分且相等

对称性：是中心对称图形也是轴对称图形

矩形的性质

小结

在Rt△ABC中，

斜边上的中线OB

有什么特殊的性质?

如何证明呢?

如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，

沿着对角线AC剪去一半.0A=OB=0C=0D

定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°,BO

AC上的中线.求证：

证明：延长BO至D,使OD=BO,

连接AD,CD.

∵AO=OC,BO=OD,0

∴四边形ABCD是平行四边形.

B

∵∠ABC=90°,∴平行四边形ABCD是矩形.

∴AC=BD.

定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

证一证

是

(

例1如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点0,

∠AOD=120°,AB=2.5,求这个矩形对角线的长.

解：∵∠AOD=120°

.∴∠A0B=60°

又∵AC,BD是矩形ABCD的对角线

.∴.0A=0B

∴△ABO是等边三角形

.∴.0A=0B=AB=2.5..AC=2A0=5

∴这个矩形对角线的长为5.

点0,AB=6,OA=4.求BD与AD

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD(矩形的对角线相等),

∴BD=2AO=8,

在Rt△ABD中，AD²+AB²=BD²,

AD²+6²=82,

∴AD=2√7.

如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于

巩固练习，深化提高

的长.【选自教材P13随堂练习】

练一练

1.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点0,

∠A0B=60°,AB=2,则矩形的边长BC的长是(C)

A.2

B.4

C.2√3

D.4√3

2.如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,

0A=0B,若AD=4,∠AOD=60°,则AB的长(A)

A.4√3

B.2

C.8

D.8√3

3.如图，在矩形ABCD中，0是对角线AC的中点，

OM//AB交AD于点M,若OM=3,BC=10,则0B的长为

(D)

A.5

B.4

C.34

2

D.√34

的长为1

√(2a)2-a²=2√3

√3a=2√3

a=2

4.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD交于点0,

∠AOD=60°,AB=2√3,AE⊥BD于点E,则0E

2√3

30

60%

2a

D

O0

a

能力提升：

5.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,P是上

的动点，PELAC于E,PF⊥BD于F,求PE+PF的值.

解：连接OP.∵四边形ABCD是矩形

∴OA=OD=0C=