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2010-2023历年上海市静安区高三上学期期末考试理科数学试卷（带解析）

第1卷

一.参考题库(共20题)

1.已知?，，则的值是?????????.

2.关于未知数的实系数一元二次方程的一个根是（其中为虚数单位），写出一个一元二次方程为?????????.

3.已知方程，则当时，用列举法表示方程的解的集合是?????????.

4.已知函数（其中且），是的反函数.

（1）已知关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围；

（2）当时，讨论函数的奇偶性和增减性；

（3）设，其中.记，数列的前项的和为（），

求证：.

5.设某抛物线的准线与直线之间的距离为3，则该抛物线的方程为?????????.

6.已知不等式的解集为，则?????????，且的值为?????????.

7.若（其中、为有理数），则?????????.

8.若圆与圆的两个交点始终为圆的直径两个端点，则动点的轨迹方程为?????????.

9.不等式的解集是?????????.

10.已知，且，则的值用表示为?????????.

11.已知命题：如果，那么；命题：如果，那么；命题：如果，那么.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是(????)

①命题是命题的否命题，且命题是命题的逆命题.

②命题是命题的逆命题，且命题是命题的否命题.

③命题是命题的否命题，且命题是命题的逆否命题.

A．①③；

B．②；

C．②③

D．①②③

12.某班有38人，现需要随机抽取5人参加一次问卷调查，抽到甲同学而未抽到乙同学的可能抽取情况有?????????种.（结果用数值表示）

13.已知集合，，则?????????.

14.（1）设、是不全为零的实数，试比较与的大小；

（2）设为正数，且，求证：.

15.“”是“直线与直线互相垂直”的(????)

A．充要条件；

B．充分不必要条件；

C．必要不充分条件；

D．既不充分也不必要条件.

16.设无穷数列的首项，前项和为（），且点在直线上（为与无关的正实数）．

（1）求证：数列（）为等比数列；

（2）记数列的公比为，数列满足，设，求数列的前项和；

（3）（理）若（1）中无穷等比数列（）的各项和存在，记，求函数的值域.

17.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦′矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.

按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.

（1）计算弧田的实际面积；

（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）

18.当时，函数的值恒大于1，则实数的取值范围是?????????.

19.已知函数的值域是，则实数的取值范围是?(????)

A．；

B．；

C．；

D．.

20.已知椭圆，过椭圆上一点作倾斜角互补的两条直线、，分别交椭圆于、两点.则直线的斜率为?????????.

第1卷参考答案

一.参考题库

1.参考答案：试题分析：先由，结合的范围，求出，再利用两角和的正切公式可得．

考点：已知一个三角函数值，求其他三角函数值；两角和的正切公式．

2.参考答案：试题分析：根据的性质，实系数方程在复数范围的虚数根成对出现，因此方程还有一个根为，由此可知，．

考点：实系数方程的复数解．

3.参考答案：试题分析：此题可用解三角函数的一般方法，原方程可化为，即，也可把方程两边平方得，即．

考点：解三角方程．

4.参考答案：(1)；(2)奇函数，减函数；(3)证明见解析．试题分析：(1)这是一个对数方程，首先要转化为代数方程，根据对数的性质有，从而有，方程在上有解，就变为求函数在上的值域，转化时注意对数的真数为正；(2)奇偶性和单调性我们都根据定义加以解决；(3)，

，要证明不等式成立，最好是能把和求出来，但看其通项公式，这个和是不可能求出的，由于我们只要证明不等式，那么我们能不能把放缩后可求和呢？，显然，即，左边易证，又由二项式定理

，在时，，所以，注意到，至此不等式的右边可以求和了，

，得证．

试题解析：（1）转化为求函数在上的值域，

该函数在上递增、在上递减，所以的最小值5，最大值9。所以的取值范围为。?????????4分

（2）的定义域为，?????????5分

定义域关于原点对称，又，，所以函数为奇函数。?????????6分

下面讨论在上函数的增减性.

任取、，设，令，则，，所以

因为，，，所以.????????7分

又当时，是减函数，所以.由定义知在上函数是减函数.?????????8分

又因为函数是奇函数，所以在上函数也是减