考点03 函数及其性质 2023年新高考数学一轮复习讲与练（解析版）.doc

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函数及其性质（讲与练）

1.函数的概念

设A，B是两个非空数集，如果按照确定的法则f，对A中的任意数x，都有唯一确定的数y与它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.

2.函数的定义域、值域

(1)函数y＝f(x)自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域.

(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数.

3.函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.

4.分段函数

(1)在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数.

(2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.

5.函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数

减函数

定义

设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M?A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x10，则当

Δy＝f(x2)－f(x1)0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数

Δy＝f(x2)－f(x1)0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数

图象描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的

(2)如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间.

6.函数的最值

前提

设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

条件

(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；

(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M

(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；

(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M

结论

M为最大值

M为最小值

7.函数的奇偶性

奇偶性

定义

图象特点

奇函数

设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数

关于原点对称

偶函数

设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数

关于y轴对称

8.函数的周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

方法技巧

1.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

2.已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

3.函数的对称性与单调性，指数式、对数式的大小比较．

比较指数式大小时，常常化为同底数的幂，利用指数函数性质比较，或化为同指数的幂，利用幂函数性质比较，比较对数式大小，常常化为同底数的对数，利用对数函数性质比较，如果不能化为同底数或同指数，或不同类型的数常常借助中间值如0或1比较大小．

4.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：

（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．

（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．

（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．

（4）考查数形结合思想的应用．

考点专项练

考向一函数及其表示

一、单选题

1．（2022·天津市第四十七中学模拟预测）已知函数，若在区间上存在个不同的数，使得成立，则的取值集合是（???????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意，可知为方程的解的个数，判断的单调性，作出与的函数图象，根据图象交点个数即可求解．

【详解】解：设，则方程有个根，即有个根，

，

所以在上单调递增，在，上单调递减，且，

当