2010-2023历年上海市交通大学附属中学高二下学期期中数学试卷（带解析）.docxVIP

2010-2023历年上海市交通大学附属中学高二下学期期中数学试卷（带解析）

第1卷

一.参考题库(共20题)

1.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是?????????．

2.从个正整数中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于的概率为,则???。

3.6名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有???????????种。

4.如图是一个正方体的表面展开图，A、B、C均为棱的中点，D是顶点，则在正方体中，异面直线AB和CD的夹角的余弦值为??????????????。

5.设复数满足,则____________。

6.如图,在正三棱柱中,,异面直线与所成角的大小为,该三棱柱的体积为???????????????。

7.已知：对于任意的多项式与任意复数z，整除。利用上述定理解决下列问题：

在复数范围内分解因式：；

求所有满足整除的正整数n构成的集合A。

8.已知为异面直线,平面,平面.平面α与β外的直线满足,则（?）

A．,且

B．,且

C．与相交,且交线垂直于

D．与相交,且交线平行于

9.三个人乘同一列火车，火车有10节车厢，则至少有2人上了同一车厢的概率为（??）

A．

B．

C．

D．

10.设（是正整数），利用赋值法解决下列问题：

（1）求；

（2）为偶数时，求；

（3）是3的倍数时，求。

11.如图,已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为8，侧棱长为6，D为AC中点。

（1）求证：直线AB1∥平面C1DB；

（2）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值

12.宇宙深处有一颗美丽的行星，这个行星是一个半径为r（r0）的球。人们在行星表面建立了与地球表面同样的经纬度系统。已知行星表面上的A点落在北纬60°，东经30°；B点落在东经30°的赤道上；C点落在北纬60°，东经90°。在赤道上有点P满足PB两点间的球面距离等于AB两点间的球面距离。

（1）求AC两点间的球面距离；

（2）求P点的经度；

（3）求AP两点间的球面距离。

13.如图，AB是底面半径为1的圆柱的一条母线，O为下底面中心，BC是下底面的一条切线。

（1）求证：OB⊥AC；

（2）若AC与圆柱下底面所成的角为30°，OA=2。求三棱锥A-BOC的体积。

14.设复数，，在复平面上所对应点在直线上，则

=??????????。

15.用0、1、2、3、4、5组成一个无重复数字的五位数，这个数是偶数的概率为?????。

16.的展开式中的常数项是??????????????。

17.在直三棱柱中，底面ABC为直角三角形，，.已知Ｇ与Ｅ分别为和的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段和上的动点（不包括端点）.若，则线段的长度的最小值为???????????????。

18.将三个1、三个2、三个3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，则不同的填写方法共有????????种。

19.若圆锥的侧面展开图是半径为2、圆心角为180°的扇形，则这个圆锥的体积是????。

20.除以100的余数是(??)

A．1

B．79

C．21

D．81

第1卷参考答案

一.参考题库

1.参考答案：?试题分析：如图甲，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面//平面，与小球相切于点，则小球球心为正四面体的中心，，垂足为的中心．

因，

故，从而．

记此时小球与面的切点为，连接，则

．

考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如图乙．记正四面体的棱长为，过作于．

因，有，故小三角形的边长．

小球与面不能接触到的部分的面积为（如答图2中阴影部分）

．

又，，所以．

由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为．

考点：(1)三棱锥的体积公式；（2）分情况讨论及割补思想的应用。

2.参考答案：8试题分析：两数之和等于的只有与两种情况，由古典概型公式得，解得。

考点：古典概型的定义及概率的求法。

3.参考答案：729试题分析：根据分步乘法计数原理获得冠军的可能性有。?

考点：分步乘法计数原理的应用，

4.参考答案：试题分析:把正方体的表面展开图还原成正方体，设

的中点为，连接，又，则为异面直线AB和CD所成的角，由余弦定理可得。

考点：（1）异面直线所成角的定义；（2）平行公里；（3）余弦定理的应用。

5.参考答案：?试题分析：由已知得。

考点：复数的除法运算。

6.参考答案：试题分析：由线线角定义知，又为直角三角形，，则，故该三棱柱的体积为。?

考点：（1）线线角的定义；（2）正三棱柱的性质及体积公式。

7.参考答案：(1)；(2)或。试题分析：（1）令，由求根公式可得两根为；