江苏省新沂市第二中学高三数学复习 专题43 平面的基本性质与异面直线学案 理 苏科版.doc

学案43平面的基本性质与异面直线

【导学引领】

（一）考点梳理

1平面的基本性质及推论

名称

图形

文字语言

符号语言

作用

公理1

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(A∈l,B∈l,A∈α,B∈α))?

l?α

证明“点在面内”或“线在面内”

公理2

过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

ABC不共线?ABC∈平面α且α是唯一的

用来确定一个平面或证明“点线共面”

公理2的推论

推论1

经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面

若点A?a，则A和a确定一个平面

推论2

两条相交直线确定一个平面

a∩b＝P?有且只有一个平面α，使a?α，b?α

推论3

两条平行直线确定一个平面

a∥b?有且只有一个平面α，使a?α，b?α

公理3

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

若P∈α，且P∈β，则α∩β＝a，且P∈a

一判断两个平面是否相交的依据，二判定点在直线上，即点是两平面的公共点，线是这两个平面的公共线，则这点在直线上

空间两条直线

(1)空间两条直线的位置关系有相交平行异面

位置关系

公共点的个数

共面直线

相交直线

有且仅有一个公共点

平行直线

在同一个平面内，没有公共点

异面直线

不同在任何一个平面内，没有公共点

(2)平行直线

①公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行

②等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补

(3)异面直线

判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线

3异面直线所成的角

(1)异面直线所成角的范围是θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))

(2)求角方法：

①利用平移的方法，得到平面角，再构造三角形解决；

②向量法

【自学检测】

1给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面

其中正确命题的个数是________

2已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l?β下列命题中，其中正确命题的个数是________

①若α∥β，则m⊥l；②若α∥β，则m∥l；③若m∥l，则α∥β；④若m∥l，

3如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对

4已知四边形ABCD为梯形，AB∥CD，l为空间一直线，则“l垂直于两腰AD，BC”是“l垂直于两底AB，DC”的________条件(填空“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一个)

5如图，点PQRS分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是________

【合作释疑】

点共线点共面线共点的证明

【训练1】如图在正方体

ABCDA1B1C1D1中，EF分别是AB和AA1

(1)ECD1F四点共面；

(2)CED1FDA

【训练2】如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綉eq\f(1,2)AD，BE綉eq\f(1,2)FA，GH分别为FAFD的中点

(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；

(2)CDFE四点是否共面？为什么？

异面直线及其判定

【训练1】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，MN分别是A1B1B1C1的中点问：

(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；

(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由

【训练2】如图，GHMN分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GHMN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)

异面直线所成的角

【训练1】如图，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点

(1)求异面直线AE和PB所成的角的余弦值；

(2)求三棱锥AEBC的体积

【训练2】已知A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点，

(1)求证：直线EF与BD是异面直线；

(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角

【当堂达标】1l1，l2，l3是空间三条不同的直线，给出下列四个命题：

①l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3；

②l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3；

③l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面；

④l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面

其中正确命题的序号是________

2如图，M是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1

①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；

②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都