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重难题型八二次函数与几何综合——三阶综合提升练
类型一：二次函数与线段问题
1．(2024·临夏州节选)在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A（-1,0），B（3,0）两点，与y轴交于点C，作直线BC.(1)求抛物线的解析式；(2)如图，P是线段BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，请问线段PQ是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在请说明理由．
解：(1)由题意知y＝－（x+1)(x-3)，∴y＝－x2＋2x＋3.
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2．如图①，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，AD为等腰Rt△ABC底边BC上的高，抛物线y＝a(x－2)2＋4的顶点为点A，且经过B，C两点，B，C两点在x轴上．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图②，E为抛物线上位于直线AC上方的一点，过点E作EN⊥x轴交直线AC于点N，求线段EN的长的最大值及此时点E的坐标；(3)如图②，M(5，b)是抛物线上的一点，P为对称轴上一动点，在(2)的条件下，当线段EN的长度最大时，求PE＋PM的最小值．
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类型二：二次函数与面积问题
5．(2024·西吉县模拟)如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A,B两点，其中点A坐标为(－3，0)，与y轴交于点C，点D(－2，－3)在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA＋PD的最小值；(3)若抛物线上有一动点E，使△ABE的面积为6，求点E坐标．
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6．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，连接BC.(1)求抛物线的解析式；(2)若P为线段BC上的一动点(不与B，C重合)，PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求点P的坐标．
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7．(2024·凉山州)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线y＝x＋2相交于A(－2，0)，B(3，m)两点，与x轴相交于另一点C.(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点M，使△ABM的面积等于△ABC面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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8．(2024·惠农区模拟)在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋2的图象与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C.P是抛物线上任意一点，连接PA，PC.(1)求这个抛物线与直线AC的解析式；(2)如图，过P，B作直线BP，交直线AC于点Q，是否存在一点P，使得S△PQC∶S△BQC＝1∶2，若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
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类型三：二次函数与特殊三角形问题
9．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴分别交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，－3)，P，Q为抛物线上的两点．(1)求二次函数的解析式；(2)当P，C两点关于抛物线对称轴对称，△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标．
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10．(2024·达州节选)如图，抛物线y＝ax2＋kx－3与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C.D是抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式；(2)若N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
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11．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋c经过P(4，－3)，与y轴交于点A(0，1)，直线y＝kx(k≠0)与抛物线交于B，C两点．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标．
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12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于B(4，0)，C(－2，0)两点，与y轴交于点A(0，－2)．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
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类型四：二次函数与特殊四边形问题
13．(2024·泸州)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(3，0)，与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称．(1)求该抛物线的解析式；(2)C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
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16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(3，0)，B(0，－3)两点，P是直
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