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IIR数字滤波器设计及其MATLAB实现

（宁夏大学2010级通信班学号）

摘要：IIR数字滤波器在设计上可以借助成熟的模拟滤波器的成果，如巴特沃斯、契比雪夫和椭圆滤波器等。在设计一个IIR数字滤波器时，我们根据指标先写出模拟滤波器的设计方法设计一个满足数字滤波器指标的模拟滤波器，然后通过一定的变换，将模拟滤波器转换成数字滤波器。本文介绍了IIR数字滤波器设计，主要分析了其在满足上述要求下的工程方法，冲激响应不变法和双线性变换法。通过理论与实践的分析对比，表明了两种方法的优弊端。

关键词IIR数字滤波器；MATLAB；冲激响应不变法；双线性变换法

1.引言

IIR数字滤波器的最通用的方法是借助于模拟滤波器的设计方法。模拟滤波器设计已经有了相当成熟的技术和方法，有完整的设计公式，还有比较完整的图表可以查询，因此设计数字滤波器可以充分利用这些丰富的资源来进行。对于IIR数字滤波器的设计具体步骤：(1)按照一定的规则将给出的数字滤波器的技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标。??(2)根据转换后的技术指标设计模拟低通滤波器G(s)(G(s)是低通滤波器的传递函数)。(3)再按照一定的规则将G(s)转换成H(z)(H(z)是数字滤波器的传递函数).下面从原理分析在到实践来分析设计用冲激响应不变法和双线性变换法来设计IIR数字滤波器的过程。

2.原理分析

我们书本上重点介绍了巴特沃斯低通滤波器的设计，但巴特沃斯滤波器的频率特性无论在通带还是在阻带豆岁频率而单调变化，因此，如果在通带边缘满足指标，则在通带内肯定会有富裕量，也就是超过指标的要求，因而并不经济。所以，更有效果的办法是将指标的精度要求欧均匀地分布在通带内，或均匀分布在阻带内，或同时均匀分布在通带与阻带内。这样在同样通带，阻带性能要求下，就可以设计出阶数较低的滤波器。

2.1.切比雪夫1低通滤波器的原理

设计IIR滤波器的基础是设计模拟滤波器的原型，其中切比雪夫1就是一种。切比雪夫1低通滤波器的原理：幅度平方函数为

式中，ε为小于1的正数，表示通带内幅度波动的程度，ε愈大，波动幅度也愈大。

Ωp称为通带截止频率。令λ=Ω/Ωp，称为对Ωp的归一化频率。CN(x)称为N阶切比雪夫多项式，定义为

切比雪夫的特性：

(1)切比雪夫多项式的过零点在|x|≤1的范围内；(2)当|x|1时，|CN(x)|≤1,在|x|1范围内具有等波纹性；(3)当|x|1时，CN(x)是双曲线函数，随x单调上升。Matlab信号工具箱提供了几个直接设计IIR数字滤波器的函数，直接调用这些函数就可以很方便地对滤波器进行设计。

2.2.冲激响应不变法

顾名思义，所谓冲激响应不变法，就是使离散时间系统的冲激响应等于连续时间系统冲激响应的抽样值，即(1)这样，如果连续时间系统的冲激响应为则根据式子（1），离散时间系统的冲激响应就等于（2）。由式子（2）可得连续时间系统的系统函数可见，在（2）中，pi是系统函数的极点，或者系统微分方程的特征根。这里，我们假设pi都是一阶极点，而Ai是与每个极点相对应的系数，其值为（3）.而从式子（3）可求得离散时间系统的系统函数.

根据s平面和z平面之间的映射关系可知：s平面上的j??轴将映射成z平面上的单位园；而左半s平面将映射为单位园内部分；右半s平面将映射为单位园外部分，如图z6.1所示。而且，从连续时间频率??到离散时间频率??是一个多值映射。根据这种映射关系可知，左半s平面上的极点将映射到z平面上的单位园内，由此而可得到一个基本结论，即冲激响应不变法可以将一个稳定的连续时间系统转换为一个稳定的离散时间系统。此外，由于可以将离散时间系统的冲激响应看作是连续时间系统的抽样，于是，根据抽样定理和连续时间频率与离散时间频率之间的关系，可以求得离散时间系统的频率响应和连续时间系统的频率响应满足下述关系

此式表明，如果连续时间系统的频率特性不是一个限带频谱，则转换为离散时间系统后将出现频谱混叠，从s平面到z平面的映射来看，多值映射是造成频谱混叠的原因。

2.3.双线性变换法

双线性变换法是在冲激响应不变法的基础上采用不同的变换，分为两步：第一步：将整个S平面压缩到S1平面的一条横带里；第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平面上去。为了将s平面的jΩ轴压缩到s1平面jΩ轴上的-一段上，可通过以下的正切变换实现：。经过这样的频率变，当Ω1由时，Ω由，即映射了整个jΩ轴。将这一解析关系延拓至整个s平面，则得到s平面平面的映射关系

再将s1平面通过标准变换关系映射到z平面，即单值映射关系，令，最后得S平面与Z