江苏省苏州市第五中学高中数学 25函数与方程学案 苏教版必修1.doc

25函数与方程

一学习内容要求及建议

知识方法

要求

建议

二次函数与一元二次方程的关系

理解

会用函数图象的交点解释方程根的意义，结合二次函数的图象，了解函数零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数

用二分法求方程的近似解

了解

根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解

二预习指导

1预习目标

(1)学会用函数图象的交点解释方程的根的意义；能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数零点与方程根的联系

(2)能够借助计算器用二分法求方程的近似解，理解这种方法的实质

(3)体验并理解函数与方程的相互转化，体会数形结合的思想方法

2预习提纲

(1)阅读教材§251和典型例题之例1例2，初步理解零点的概念，学会用函数图象的交点解释方程的根的意义

(2)阅读典型例题之例3～例5及拓展视野部分，学习如何利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数

(3)阅读教材§252

(4)尝试完成自我检测1～6

3典型例题

(1)零点的存在性问题

例1判断下列函数的零点个数：

(1)；(2)

分析：利用函数的零点与方程根的联系，可以借助对应二次方程的判别式来判断二次函数零点的个数

解：(1)考察二次方程，即，，所以方程无实根，该二次函数没有零点

(2)考察二次方程，，当时，，方程有两个不等实根，因此函数有两个零点；当时，，方程有两个相等实根，因此函数有一个零点；当时，，方程无实根，因此函数没有零点

点评：判断二次函数在上的零点个数关键看二次方程的判别式的符号，当，，时分别对应于函数有两个零点，一个零点，无零点

例2判断下列函数在给定区间上是否存在零点

(1)，；(2)，；

(3)，；(4)，

分析：利用零点存在性定理或函数图象进行判断

解：(1)方法一：∵，，∴，

故，存在零点

方法二：解方程，得或，

∴函数，存在一个零点

(2)方法一：解方程，得或，

∴函数，存在两个零点

方法二：函数的图象是开口向上的抛物线(不间断曲线)，对称轴为，且，画出函数的图象，由图可知，，存在两个零点

方法三：∵，，∴，且，故，在和上各有一个零点，从而在上共存在两个零点

(3)∵，，∴，

故，存在零点

(4)∵，，∴，

故，存在零点

点评：判断函数的零点存在性问题常用的方法有三种，一是利用零点存在性定理，二是直接解方程，三是利用函数图象(数形结合)

(2)二次函数的零点问题

例3已知函数有两个零点，其中一个在区间内，另一个在区间内，求的取值范围

分析：由于函数含有字母参数，且要求零点在两个具体的确定区间上，所以利用判别式或解方程的方法解题均不够理想，故利用图象法根据题意画出示意图，分析区间端点处函数值的正负即可解决该题

解：由题意，画出示意图可得：

解得

点评：对于不能直接解方程，或一下子不容易寻找到函数值异号的两端点时，可以利用函数的图象和性质寻找零点

例4(1)函数有两个零点，且一个大于1，一个小于1，求实数的取值范围

(2)关于的方程有两实根且一根大于4，一根小于4，求实数的取值范围

分析：利用根与系数的关系或利用函数图象数形结合法解决

解：(1)方法一：设方程的两根分别是，依题意，只需满足，即，由根与系数的关系可得：，即

方法二：由于图象开口向上，故依题意，只需，即，即

(2)令，依题意，时显然不可能，时，根据图象可得，解得

点评：此类方程根的分布问题通常有两种解法：一是方程思想利用根与系数的关系，二是函数思想构造二次函数利用其图象分析，从而求解，本题⑵中没有用方程思想的原因是较为复杂，本题体现了函数与方程思想数形结合思想的具体应用

例5已知是大于零的实数，函数，如果方程在区间上有两个不同的实数根，求实数的取值范围

解：方程在上有两个不同的实数根，结合图象有，解得：

所以实数的取值范围是

点评：利用函数图象数形结合法时，常要同时考虑图象开口判别式符号区间两端点处的函数值符号及对称轴位置等四个方面

(3)用二分法求函数的零点近似值

例6在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防汛指挥部的线路发生了故障这是一条长10km的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆子，10km长大约有200多根电线杆想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？

分析：对于生活中一些故障排查等问题，可以利用二分法的思想来处理，其过程比较省时

解：可利用二分法的原理进行查找设闸门和指挥部所在处为点AB，他首先从中点C处

查，向两端测试，若AC段正常，断定故障在BC段，再到BC中点D，发现