江苏省苏州市第五中学高中数学 33复数的几何意义学案苏教版选修22.doc

33复数的几何意义

一学习内容要求及建议

知识方法

要求

建议

复数的几何意义

了解

回顾向量的有关知识，了解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数

复数代数形式的加减运算的几何意义

了解

了解复数代数形式的加减运算的几何意义，增强数形结合的意识

二预习指导

1预习目标

(1)了解复数的几何意义；

(2)了解复数代数形式的加减运算的几何意义

2预习提纲

(1)我们把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做________，x轴叫做________，y轴叫做_______

(2)有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，我们可以用直角坐标系中的点_________来表示复数z=a＋bi

(3)复数z=a＋bi也可以用向量______来表示

(4)你能画出复数z=a＋bi复平面内的点和平面向量之间的关系图吗?

(5)z，与|z|之间有什么关系?

(6)复数加法的几何意义___________；

复数减法的几何意义___________

(7)阅读课本第2至第4内容，并完成课后练习

(8)结合课本第3的例1，学习复数的几何意义，学会用点和向量表示复数；结合课本第3的例2，学习如何求复数的模，体会复数的模是实数，它们可以比较大小；结合课本第3的例3，感悟复数的模的几何意义，体会数形结合的思想方法

3典型例题

(1)复数的几何形式

实数与数轴上的点是一一对应的，因此实数可以用数轴上的点来表示确定一个复数需要确定它的实部和虚部，即一个复数对应着一个有序数对，而有序数对与平面直角坐标系中的点是一一对应的，因此，可以用直角坐标系中的点来表示复数

例1复数，设z在复平面内对应的点为Z

(1)若点Z在第三象限，求x的取值范围；

(2)若点Z在直线x2y＋1=0上，求x的值

解：由题意，

(1)若点Z在第三象限，则所以

解得

(2)由题意，，

所以，

所以解得

(2)复数代数形式的加减运算的几何意义

由复数的几何意义知，一个复数与平面内的一个向量相对应，于是就可以得到复数加法的几何意义：向量的加法法则也即平行四边形法则对于复数减法的几何意义可通过加法来实现

例2已知复数，它们在复平面上的对应点分别为ABC，且ABC是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点D对应的复数z

分析：(1)利用或者，求D点对应的复数(2)利用正方形的两条对角线交点是其对称中心求解

解：法1设，

则

又，且，

所以

故第四个顶点D对应的复数

解：法2设，

则点A与点C关于原点对称，原点O是正方形的中心

O也是BD连线的中点，于是有2＋i＋x＋yi=0

x=2，y=1

故第四个顶点D对应的复数

点评：解题时要善于发现问题中可能被利用的条件，寻找最佳的解题方法本题解法2正是利用正方形是中心对称图形这一特点，寻得最佳解题思路

(3)复数模的几何意义

复数的模为，记作或，它表示复平面上复数z对应的点Z到原点的距离(如图)，这就是复数模的几何意义

说明：①复数的模是非负实数，可以比较大小，但是，两个复数，只要其中有一个不是实数，它们就不能比较大小；②如果，那么就是实数，它的模等于(即实数的绝对值)；③两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离

例3设，求在复平面上满足下列条件的点的集合所组成的图形分别是什么?

(1)；

(2)

分析：根据复数模的几何意义，可以把复平面内的某些图形用适合某些条件的复数方程或不等式表示，反之，某些简单的复数方程或不等式也对应复平面上的某些图形

解：(1)不等式的解在复平面中对应点的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆的内部及其边界

满足条件的点的集合是直线以上及以下的点组成的图形

两者的公共部分即为所求，即以原点为圆心，2为半径的圆被直线所截得的两个弓形，但不包括边界上的点；

(2)方程的解在复平面中对应点的集合是为圆心，以3为半径的圆周

点评：解这类问题，要认真分析题设条件，正确理解复数的几何意义复数的模复数的实部与虚部等概念，结合解析几何中曲线的方程及一些函数性质，寻找解决问题的突破口

例4集合，，

(1)指出集合P在复平面内的对应点表示的图形；

(2)求集合P中复数模的最小值

解：(1)由可知，集合M在复平面中的对应点表示以点

为圆心，1为半径的圆的内部及边界；由可知，

集合N在复平面内的对应点表示以和为端点的线段的

垂直平分线因此，集合P是圆截直线所得的一条线段(如图)；

(2)过点O向引垂线，垂足在线段上，由(1)知，的方程为，则O到的距离为，因此集合P中复数模的最小值为

点评：利用复数模的几何意义，可以将抽象的代数式转化为具体的图形，便于问题的解决

4自我检测

(1)复数z=m23＋(2m2)i对应点在第三象限，则实数m的取值范围是__________