江苏省苏州市第五中学高中数学 因式分解学案 苏教版必修1.doc

因式分解

一学习内容要求及建议

知识方法

要求

建议

因式分解

公式法

掌握

熟悉因式分解的常用方法，会选择适当的方法分解因式

分组分解法

拆项添项法

换元法

十字相乘法

求根法

待定系数法

二预习指导

1预习目标

⑴通过复习初中所学的整式乘法公式，推出立方和立方差等公式；

⑵回顾并总结已学的因式分解的概念和一些基本的方法如(公式法分组分解法提取公因式法等)

2预习提纲

(1)高中代数学习中常用公式：

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

①平方差公式；

②完全平方公式

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

①立方和公式______________；

②立方差公式______________；

③三数和平方公式_________________；

④两数和立方公式______________________；

⑤两数差立方公式______________________

对上面列出的五个公式，请同学们补充完整

公式应用如(1)计算：

解法一：原式＝

＝

＝

解法二：原式＝

＝

＝

再如；已知，，求的值

解：

点评：以上两道例题关键是要对一些整式的乘法公式非常熟悉

(2)因式分解的常用方法：

提取公因式法

十字相乘法

分组分解法

求根法

待定系数法

拆项添项法

掌握以上这些方法的特点，技巧等

3典型例题

(1)提取公因式法

例1把下列式子分解因式：

(1)；

(2)

解：(1)＝

(2)＝＝

＝

点评：通过观察整式中的公因式，及时进行提取公因式来分解因式

(2)十字相乘法

例2分解因式：(1)；(2)；(3)；

(4)；(5)

分析：学习十字相乘法，能熟练运用十字相乘法分解因式

解：(1)如图，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成1与2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是x23x＋2中的一次项，所以，有

－ay－byx1=x2Oyxx2

－ay

－by

x1=x2

O

y

x

x2

x1

O

－by

1

1

图1－3

4

－3

1

2

图1－2

－1

－2

1

1

图1－1

(2)由图12，得

2x2＋5x12＝(x＋4)(2x3)

(3)由图13，得

＝

(4)＝

(5)

点评：十字相乘的关键在于要会熟练的把常数项分解然后再交叉相乘求和这一过程因为对于系数较大，分解种类较多的问题就需要多次尝试

(3)分组分解法

例3分解下列因式：(1)；(2)；

(3)；(4)

分析：思路突破：分别运用提取公因式法公式法分组分解法求解

(1)思路一：从次数的角度看，可以将x2与y2，2x与2y合并，分组分解

思路二：从合并同类字母的角度看，可以将x2,2x；y2,2y分组后再分解

(2)从次数角度看2a2与a2b，bc2与2ac分组分别都可以分解因式，但它们之间没有公因式，从数字角度看可以将2a2与2ac，bc2与

(3)先分组再分解，也可利用公式法(立方和公式与和的立方公式)分解因式

解：(1)解法一：

解法二：

(2)

(3)解法一:＝

＝＝

解法二：＝＝＝

＝＝

(4)解法一：＝

解法二：

(4)求根法

例4把下列关于x的二次多项式分解因式：(1)；(2)

分析：关于x的二次三项式ax2＋bx＋c(a≠0)的因式分解可用公式法求解，也可用求根法求解，即若关于x的方程的两个实数根是，则二次三项式就可分解为

解：(1)解法一：＝(x＋1)22＝

解法二：令＝0，则解得，，

∴＝＝

点评：解法一其实是利用配方法求根，解法二是利用了求根公式

(2)解法一：

解法二：令＝0，

则解得，，

∴＝

点评：在用求根法分解类似“”这类式子时，求根的方法一般可以采用配方法和求根公式法

(5)待定系数法

例5分解因式：

分析：通过观察我们可以发现当取时，上式为0，因此可知为上式的一个因式因此可设

解：根据已知条件，设，，，

则，

由此可得

解之得，

＝

点评：此题先是试根，然后根据先有的因式再用待定系数法求解

(6)拆项添项法

例6分解因式：

分析：本题解法很多，这里只介绍运用拆项添项法分解的几种解法，注意一下拆项添项的目的与技巧

解：解法1将常数项8拆成1＋9

原式＝x39x1＋9＝(x31)9x＋9＝(x1)(x2＋x＋1)9(x1)

＝(x1)(x2＋x8)＝

解法2将一次项9x拆成x8x

原式＝x3x8x＋