江苏省苏州市第五中学高中数学 第三章 空间向量与立体几何学案苏教版选修21.doc

第3章空间向量与立体几何

31空间向量及其运算

一学习内容要求及建议

知识方法

要求

学习建议

空间向量的概念

了解

空间向量的定义表示方法及相等关系都与平面向量相同可在复习平面向量的定义表示方法及其相等关系后类比进行理解﹒

空间向量共线共面的充分必要条件

理解

共面向量与共线向量的定义对象不同，但定义形式相同

空间向量的加法减法及数乘运算

理解

掌握空间向量的加法减法和数乘运算利用图形说明空间向量加法减法数乘向量及它们的运算律﹒

空间向量的坐标表示

理解

空间向量的坐标运算，加法减法和数量积同平面向量类似，具有类似的运算法则，学习中可类比推广

空间向量的数量积

理解

掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握空间向量的坐标表示；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；理解向量长度公式及空间两点间距离公式

空间向量的共线与垂直

理解

能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直

二预习指导

1预习目标

(1)了解空间向量的概念及空间向量的几何表示法字母表示法和坐标表示法；

(2)了解共线或平行向量概念向量与平面平行(共面)意义，掌握它们的表示方法；

(3)会用图形说明空间向量加法减法数乘向量及它们的运算律；

(4)了解空间向量基本定理及其意义；会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底，表示其他的向量；

(5)会用向量解决立体几何中证明直线和平面垂直直线和直线垂直求两点距离或线段长度等问题的基本方法步骤

(6)掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；

(7)理解空间向量夹角和模的概念及表示方法，理解两个向量的数量积的概念性质

和计算方法及运算律

(8)理解向量的长度公式夹角公式两点间距离公式，并会用这些公式解决有关问题

2预习提纲

(1)回顾平面向量的相关知识：

①平面向量的基本要素是什么?②平面向量是如何表示的?

③特殊的平面向量有那些?④什么是平行向量(共线向量)?

⑤什么是相等向量?⑥什么是相反向量?

⑦平面向量共线定理是什么?⑧平面向量基本定理你知道吗?

(2)请你填一填：

①对平面内任意的四点A，B，C，D，则；

②设，则CD的坐标分别是____________；

③已知，若，则；

④若三点共线，则____________；

⑤已知正方形的边长为1，，则的模等于____________；

⑥已知向量，且三点共线，则；

⑦等腰中，= ；

⑧已知，则的值=____________；

⑨，则与的夹角是____________；

⑩已知是两个非零向量，且的夹角=____________

(3)研读教材P71—P83

3典型例题

例1如图，已知四面体，分别是棱的中点，点在线段上，且，用基底向量表示向量

解：

∴

点评：若变题为已知，求﹒则由空间向量基本定理存在一个唯一的有序实数组知

例2设空间任意一点和不共线的三点，若点满足向量关系(其中)试问：四点是否共面?

解：由可以得到

(见教材P75)

由三点不共线，可知与不共线，所以，，共面且具有公共起点从而四点共面

点评：若三点不共线，则空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对使得：，或对空间任意一点有：

例3已知空间四边形，为的中点，为中点，

求证：

证明：(法一)如图，

，，

两式相加得：

，

所以，，得证

(法二)如图，在平面上任取一点，作，

∵，，

∴

点评：若表示向量，，…，的有向线段终点和始点连结起来构成一个封闭折图形，则这一结论的使用往往能够给解题带来很大的方便

例4如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值

分析：与的夹角即为与的夹角，可根据夹角公式求解

解：∵，

∴

∴，

所以，与的夹角的余弦值为

点评：由图形知向量的夹角时易出错，如易错写成

例5已知三角形的顶点是，，，试求这个三角形的面积

分析：可用公式来求面积

解：∵，，

∴，，

，

∴，

，

∴

例6已知，，，求满足，的点的坐标

分析：已知条件，，也即，，可用向量共线的充要条件处理

解：设点，

∴，，∵，

∴，∴，

∴，∴，∴，

∴，，

又∵，∴设，

∴，

∴∴，

所以，点坐标为

点评：本题采用的方法是用向量坐标运算处理空间向量共线问题的常用方法

4自我检测

(1)已知点，则点关于轴的对称点的坐标为____________

(2)设，则与平行的单位向量的坐标为

(3)已知，则的最小值是

(4)如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=a，=b，=c则=

(用a，b，c表示)﹒

(5)已知四边形为