常见的数学模型二全等问题六大常考模型 - 学生版.pdfVIP

常见的数学模型二全等问题六大常考模型

平移模型

若两个三角形有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行时，则常通过加(减)

公共线段构造线段相等，或利用平行线的性质找到对应角相等来证明它们全等.

【模型运用】

1.如图，已知AB∥DE，AC∥DF，点B，E，C，F依次在同一条直线上.若AB＝

DE，BC＝8，CE＝5，求CF的长.

第1题图

轴对称模型

若所给图形是轴对称图形，或将所给图形沿某一直线折叠，则容易构成对称型全

等，此时要注意利用隐含条件，如公共边或公共角相等.

【模型运用】

2.[2024·常州]如图，B，E，C，F是直线l上的四点，AC，DE相交于点G，AB

＝DF，AC＝DE，BC＝EF.

(1)求证:△GEC是等腰三角形.

(2)连结AD，则AD与l的位置关系是.

第2题图

一线三等角型(K型)

三个等角在同条一直线上，称为一线三等角模型(若为直角，则称为一线三垂直)，

利用三等角关系能找到三角形全等所需的角相等条件(如图中∠1＝∠2).遇到一

线三等角时的解题思路:有边相等证全等;无边相等证相似.

锐角一线三等角钝角一线三等角

一线三垂直

【模型运用】

3.如图，在△ABC中，AB＝AC，E，D，F分别是边AB，BC，AC上的点，且BE

＝CD，CF＝BD.若∠EDF＝50°，求∠A的度数.

第3题图

4.在矩形ABCD中，已知AD＞AB.在边AD上取点E，使AE＝AB，连结CE，过

点E作EF⊥CE，与边AB或其延长线相交于点F.

猜想:(1)如图1，当点F在边AB上时，线段AF与DE的数量关系为.

探究:(2)如图2，当点F在边AB的延长线上时，EF与边BC相交于点G.判断线

段AF与DE的数量关系，并加以证明.

应用:(3)如图2，若AB＝2，AD＝5，利用探究得到的结论，求线段BG的长.

第4题图

不共顶点旋转模型(中心对称模型)

将三角形绕某一定点旋转180°能得到三角形全等的中心对称模型，此时要善于

利用线段的和差找相等线.

【模型运用】

5.已知:如图，E，F在AC上，AD∥CB且AD＝CB，∠D＝∠B.求证:AE＝CF.

第5题图

共顶点旋转模型(手拉手模型)

将三角形绕着公共顶点旋转一定角度能构成手拉手模型.在旋转过程中，两个三

角形可能不重叠，也可能有部分重叠.遇到手拉手全等时，首先要想到通过角的

和差得到等角.

特别地，在对角互补，邻边相等的四边形中(如图，AB＝AC，∠ABD＋∠ACD＝

180°)，通过手拉手模型，可以将另外一组邻边转化到一个等腰三角形中(AD＝

AE，DE＝BD＋DC).

【模型运用】

6.如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC

＝∠D，BC＝CE.

(1)求证:AC＝CD.

(2)若AC＝AE，求∠DEC的度数.

第6题图

7.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D.

(1)如图1，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°.求证:BE＝AF.

(2)如图2，点M在AD的延长线上，点N在直线AC上，且∠BMN＝90°.求证:AB

2

＋AN＝AM.

第7题图