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常见的数学模型二全等问题六大常考模型

平移模型

【数学建模】

若两个三角形有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行时，则常通过加(减)

公共线段构造线段相等，或利用平行线的性质找到对应角相等来证明它们全等.

【模型运用】

1.如图，已知AB∥DE，AC∥DF，点B，E，C，F依次在同一条直线上.若AB＝

DE，BC＝8，CE＝5，求CF的长.

第1题图

解:∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF.

∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F.

又∵AB＝DE，∴△ABC≌△DEF(AAS)，

∴BC＝EF，

∴CF＝BE＝BCCE＝3.

轴对称模型

【数学建模】

若所给图形是轴对称图形，或将所给图形沿某一直线折叠，则容易构成对称型全

等，此时要注意利用隐含条件，如公共边或公共角相等.

【模型运用】

2.[2024·常州]如图，B，E，C，F是直线l上的四点，AC，DE相交于点G，AB

＝DF，AC＝DE，BC＝EF.

(1)求证:△GEC是等腰三角形.

(2)连结AD，则AD与l的位置关系是AD∥l.

第2题图

解:(1)在△ABC和△DFE中，

＝，

∵＝，

{＝，

∴△ABC≌△DFE(SSS)，

∴∠ACB＝∠DEF，即∠GCE＝∠GEC，

∴GE＝GC，∴△GEC为等腰三角形.

(2)AD与l的位置关系是AD∥l.理由如下:

如答图，连结AD，过点A作AM⊥直线l于点M，过点D作DN⊥直线l于点

N，

第2题答图

则∠AMB＝∠DNF＝90°，AM∥DN.

∵△ABC≌△DFE，

∴∠ABM＝∠DFN.

在△ABM和△DFN中，

∠＝∠，

∵∠＝∠，

{＝，

∴△ABM≌△DFN(AAS)，

∴AM＝DN，

∴四边形AMND为平行四边形，

∴AD∥l.

一线三等角型(K型)

【数学建模】

三个等角在同条一直线上，称为一线三等角模型(若为直角，则称为一线三垂直)，

利用三等角关系能找到三角形全等所需的角相等条件(如图中∠1＝∠2).遇到一

线三等角时的解题思路:有边相等证全等;无边相等证相似.

锐角一线三等角钝角一线三等角

一线三垂直

【模型运用】

3.如图，在△ABC中，AB＝AC，E，D，F分别是边AB，BC，AC上的点，且BE

＝CD，CF＝BD.若∠EDF＝50°，求∠A的度数.

第3题图

解:∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.

又∵BE＝CD，BD＝CF，

∴△EBD≌△DCF(SAS)，

∴∠EDB＝∠DFC.

又∵∠EDB＋∠FDC＝180°∠EDF＝130°，

∴∠DFC＋∠FDC＝130°，

∴∠C＝50°，

∴∠A＝180°2∠C＝80°.

4.在矩形ABCD中，已知AD＞AB.在边AD上取点E，使AE＝AB，连结CE，过

点E作EF⊥CE，与边AB或其延长线相交于点F.

猜想:(1)如图1，当点F在边AB上时，线段AF与DE的数量关系为AF＝

DE.

探究:(2)如图2，当点F在边AB的延长线上时，EF与边BC相交于点G.判断线

段AF与DE的数量关系，并加以证明.

应用:(3)如图2，若AB＝2，AD＝5，利用探究得到的结论，求线段BG的长.

第4题图

解:(2)AF＝DE.证明如下:

∵∠A＝∠FEC＝∠D＝90°，AB＝CD，

∴∠AEF＋∠DEC＝90°，∠DEC＋∠DCE＝90