《线性代数》课件第3章.ppt

例3.4.8设解要证α1，α2，α3是R3的一个基，只要证α1，α2，α3线性无关。因为所以R(A)=3，即A的列向量线性无关，其构成了R3的一个基。

设(β1，β2)=(α1，α2，α3)，记做B=AX，

而方阵A可逆，故X=A-1B.

对分块矩阵(A|B)施行初等行变换，当A变为单位矩阵E时，B变为X=A-1B.即所以向量β1在基α1，α2，α3下的坐标为，β2在基α1，α2，α3下的坐标为。例3.2.9设向量组α1，α2，α3线性相关，向量组α2，

α3，α4线性无关，证明:

(1)α1能由α2，α3线性表示；

(2)α4不能由α1，α2，α3线性表示。定理3.2.4设证此定理的两个部分互为逆否命题，故只证明前一部分。设若向量组A线性无关，则上述方程组只有零解。因此方程组3.3.1等价向量组

定义3.3.1给定两个向量组A:α1，α2，…，αr和向量组B:β1，β2，…，βs，若向量组A中的每一个向量ai(i=1，2，…，r)都能由向量组B线性表示，即存在矩阵K，使A=BK，其中

A=(α1，α2，…，αr)B=(β1，β2，…，βs)3.3极大无关组与向量组的秩3.3.2向量组的秩

定义3.3.2设A是n维向量组，如果满足

(1)在A中存在r个向量α1，α2，…，αr线性无关；

(2)在A中任意r+1个向量(如果存在的话)线性相关，

则称α1，α2，…，αr是向量组A的一个极大线性无关

组，简称极大无关组；数r称为向量组A的秩。定理3.3.1向量组中的每个向量都可用其一个极大线性无关组线性表示，且表示是唯一的。

例3.3.1求全体n维向量构成的向量组是Rn的一个极大线性无关组。

解由例3.2.4知，Rn中单位坐标向量组ε1，ε2，…，εn线性无关，而Rn中任一向量α=(a1，a2，…，an)都可以表示为

α=a1ε1+a2ε2+…+anεn例3.3.2设有向量组



解因为向量α1，α2对应分量不成比例，所以向量组α1，α2线性无关。又因为α3=α1+α2，即向量组α1，α2，α3线性相关，所以α1，α2是向量组α1，α2，α3的一个极大无关组.例3.3.3求向量组



的秩，并求出它的一个极大线性无关组。

解显然，α1，α2，α3线性无关，α4，α5都可由α1，α2，α3线性表示，根据定义3.3.2知，α1，α2，α3为向量组的一个极大无关组，且所给向量组的秩为3。定理3.3.2m×n矩阵A的秩等于矩阵A的列向量组的秩，也等于矩阵A的行向量组的秩。

证设有m×n矩阵例3.3.4求矩阵





的列向量组的秩和它的一个极大无关组。解A的二阶子式为





A的三阶子式共有4个，且都等于零，可见二阶子式D是A的最高阶非零子式，R(A)=2.由定理3.3.2知，A的列向量组的秩为2，它的一个极大无关组是



例3.3.5求向量组



的一个极大无关组。解设α1，α2，α3，α4构成的矩阵A=(α1，

α2，α3，α4)，对A施以初等行变换，可得由此可知R(A)=3，所以向量组α1，α2，α3，α4的秩为3，A1的三阶子式





由此可知，α1，α2，α3是向量组α1，α2，α3，α4的一个极大无关组。定理3.3.3设向量组B:β1，β2，…，βt能由向量组

A:α1，α2，…，αs线性表示，则R(β1，β2，…，βt)≤

R(α1，α2，…，αs)。

证不妨设向量组A的一个极大无关组为

(r≤s)例3.3.6设向量组B:β1，β2，…，βr可由向量组A:α1，α2，…，αs线性表示，证明:

(1)若向量组B线性无关，则r≤s；

(2)若rs，则向量组B线性相关。

证(1)因为向量组B线性无关，故其秩为r；又向量组B可由向量组A线性表示，所以

R(β1，β2，…，βr)≤R(α1，α2，…，αs)≤s

因此r≤s。

(2)因为