重难点04 圆的基本性质及直线与圆的位置关系（11大题型+满分技巧+限时分层检测）（解析版）.docxVIP

重难点04圆的基本性质及直线与圆的位置关系

中考数学中《圆的基本性质及直线与圆的位置关系》部分主要考向分为十类：

一、垂径定理及其应用（每年1道，3~12分）

二、圆周角定理（每年1~2道，3~12分）

三、圆内接四边形（每年1题，3~6分）

四、三角形的外接圆与外心（每年1~2题，3~8分）

五、直线与圆的位置关系（每年1题，3~10分）

六、切线的性质与判定（每年1~2题，3~13分）

七、三角形内切圆与内心（每年1题，3~4分）

八、正多边形和圆（每年1题，3~10分）

九、弧长与扇形面积的计算（每年1题，3~4分）

十、圆锥的计算（每年1题，3~4分）

中考数学中，圆的基本性质与直线与圆的位置关系一直都是必考的考点，难度从基础到综合都有，通常选择、填空题会出圆的基本性质，如垂径定理、圆周角定理、弧长与面积的求法、切线的性质等，基本都是基础应用，难度不大，个别会出选择题的压轴题，难度稍大。简答题部分，一般会把切线的判定和相似三角形、锐角三角函数等结合考察，此时难度变大，综合性较强，需要认真应对。

考向一：垂径定理及其应用

【题型1垂径定理及其推论】

满分技巧

1.圆中模型“知2得3”

由图可得以下5点：

①AB⊥CD；②AE=EB；③AD过圆心O；④；⑤；

以上5个结论，知道其中任意2个，剩余的3个都可以作为结论使用。

2.常做辅助线：连半径、作弦心距、见直接连弦长得直径所对圆周角

1．（2023?宜昌）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为（）

A．5 B．4 C．3 D．2

【分析】根据垂径定理的推论得OB⊥AC，再根据勾股定理得OA＝＝＝10，即可求出答案．

【解答】解：∵AD＝CD＝8，

∴OB⊥AC，

在Rt△AOD中，OA＝＝＝10，

∴OB＝10，

∴BD＝10﹣6＝4．

故选：B．

2．（2023?广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（）

A．20m B．28m C．35m D．40m

【分析】设主桥拱半径R，根据垂径定理得到AD＝，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．

【解答】解：由题意可知，AB＝37m，CD＝7m，

设主桥拱半径为Rm，

∴OD＝OC﹣CD＝（R﹣7）m，

∵OC是半径，OC⊥AB，

∴AD＝BD＝AB＝（m），

在RtADO中，AD2+OD2＝OA2，

∴（）2+（R﹣7）2＝R2，

解得R＝≈28．

故选：B．

3．（2023?永州）如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10cm，水的最深处到水面AB的距离为4cm，则水面AB的宽度为16cm．

【分析】过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA，由垂径定理可得AC＝BC，然后在Rt△AOC中根据勾股定理求出AC的长，即可得出AB的长．

【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA，

∴，

由题意知，OA＝10cm，CD＝4cm，

∴OC＝6cm，

在Rt△AOC中，（cm），

∴AB＝2AC＝16（cm），

故答案为：16．

4．（2023?东营）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度为26寸．

【分析】连接OA，设⊙O的半径是r寸，由垂径定理得到AE＝AB＝5寸，由勾股定理得到r2＝（r﹣1）2+52，求出r，即可得到圆的直径长．

【解答】解：连接OA，

设⊙O的半径是r寸，

∵直径CD⊥AB，

∴AE＝AB＝×10＝5寸，

∵CE＝1寸，

∴OE＝（r﹣1）寸，

∵OA2＝OE2+AE2，

∴r2＝（r﹣1）2+52，

∴r＝13，

∴直径CD的长度为2r＝26寸．

故答案为：26．

5．（2023?贵州）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交⊙O于点E，连接EA，EB．

（1）写出图中一个度数为30°的角：∠1，图中与△ACD全等的三角形是△BCD；

（2）求证：△AED∽△CEB；

（3）连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由．

【分析】（1）⊙O是等边三角形ABC的外接圆，可知点O为外心，故CD为AB的中线、垂线、∠ACB平分线（三线合一），并利用HL定理证明△ACD≌△BCD；

（2）利用两三角形两个对应角相等，可证明两三角形相似；

（3）根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可证得四