八年级数学上册含30°的直角三角形与斜边上的中线性质（七大题型）（解析版）.docxVIP

（苏科版）八年级上册数学《第2章轴对称图形》

2.5等腰三角形的轴对称性

第3课时含30°的直角三角形与斜边上的中线性质

知识点一直角三角形斜边上的中线

知识点一

直角三角形斜边上的中线

◆1、直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

◆2、几何语言：∵在Rt△ABC中，点O是AB的中点，

∴OB=AO=CO=AC.

◆3、直角三角形斜边上的中线性质适用于任何直角三角形.

知识点二

知识点二

含30度角的直角三角形

◆1、含30度角的直角三角形的性质：

在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．

◆2、此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．

【注意】

①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；

②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．

题型一

题型一利用直角三角形斜边上的中线求线段长

【例题1】（2022春?镇江期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD＝5，则EF的长为．

【分析】已知CD是Rt△ABC斜边AB的中线，那么AB＝2CD；EF是△ABC的中位线，则EF应等于AB的一半．

【解答】解：∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，

∴CD=12

又∵EF是△ABC的中位线，

∴AB＝2CD＝2×5＝10cm，

∴EF=12×10＝

故答案为：5．

【点评】此题主要考查了三角形中位线定理以及直角三角形斜边上的中线等知识，用到的知识点为：（1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（2）三角形的中位线等于对应边的一半．

【变式1-1】（2023春?青原区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是BC边上的一点，点P是AD的中点，若AC的垂直平分线经过点D，DC＝8，则BP＝（）

?

A．8 B．6 C．4 D．2

【分析】先根据线段垂直平分线的性质可得DA＝DC＝8，然后利用直角三角形斜边上的中线可得BP=12AD＝

【解答】解：∵点D在AC的垂直平分线上，

∴DA＝DC＝8，

∵∠ABC＝90°，点P是AD的中点，

∴BP=12AD＝

故选：C．

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．

【变式1-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE＝3，则AB的长为．

【分析】根据垂线的性质推知△ADC是直角三角形；然后在直角三角形ADC中，利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，求得AC＝6；最后由等腰三角形ABC的两腰AB＝AC，求得AB＝6．

【解答】解：∵在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，

∴△ADC是直角三角形；

∵E是AC的中点．

∴DE=12

又∵DE＝3，AB＝AC，

∴AB＝6，

故答案为：6．

【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．

【变式1-3】（2022秋?海口期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC，交AB于点E，若AB＝6，则DE的长为（）

A．2.5 B．3 C．3.5 D．4

【分析】求出∠CAD＝∠BAD＝∠EDA，推出AE＝DE，求出∠ABD＝∠EDB，推出BE＝DE，求出AE＝BE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．

【解答】解：∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵DE∥AC，

∴∠CAD＝∠ADE，

∴∠BAD＝∠ADE，

∴AE＝DE，

∵AD⊥DB，

∴∠ADB＝90°，

∴∠EAD+∠ABD＝90°，∠ADE+∠BDE＝∠ADB＝90°．

∴∠ABD＝∠BDE．

∴DE＝BE．

∵AB＝6，

∴DE＝BE＝AE=12AB＝

故选：B．

【点评】该题主要考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行线的性质等几何知识点的应用问题；灵活运用有关定理来分析、判断是解题的关键．

【变式1-4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝（）

A．2 B．3 C．4 D．23

【分析】根据直角三角形的性质得出AE＝CE＝5，进而得出DE＝3，利用勾股定理解答即可．

【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝5，

∴AE＝CE＝5，

∵AD＝2，

∴DE＝3，

∵CD为AB边上的高，

∴在Rt△CDE中，CD=C

故选：