与圆有关问题的压轴题之四大题型(解析版).docxVIP

专题05与圆有关问题的压轴题之四大题型

目录

TOC\o1-3\h\u【题型一与圆中线段相等及相似的有关问题】 1

【题型二与圆中证明直线是切线的有关问题】 12

【题型三与圆中求弧长、扇形面积的有关问题】 20

【题型四与圆中实际应用的有关问题】 24

【典型例题】

【题型一与圆中线段相等及相似的有关问题】

例题：（2023·广东深圳·三模）如图，为的直径，为上一点，与过点的切线互相垂直，垂足为点，交于点，连接，．

??

(1)求证：；

(2)若，，求的长．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）连接、，根据切线的性质得到，根据平行线的性质、等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理证明结论；

（2）根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．

【详解】（1）解：证明：

??

连接、，

是的切线，

，

，

，

，

，

，

，

由圆周角定理得，，，

，

；

（2）??

由（1）可知，，

是的直径，

，

，

，，

，

，即，

解得，．

【点睛】本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．

【变式训练】

1．（2023·广东深圳·三模）如图，是的直径，切于点A，连接交于点D，点E是的中点，连接交于点F．

??

(1)求证：；

(2)若，求的正切值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）如图，连接，由是的切线，可得，由是直径，可得，由，可得，证明，进而可证；

（2）由勾股定理得，，由（1）可知，，则．由，可得，，由勾股定理得，，由点E是的中点，可得，根据，计算求解即可．

【详解】（1）证明：如图，连接，

??

∵是的切线，

∴，

∵是直径，

∴，

∵点E是的中点，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴；

（2）解：由勾股定理得，，

由（1）可知，，

∴．

∵是直径，

∴，

∵，

∴，，

由勾股定理得，，

∵点E是的中点，

∴，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了切线的性质、直径所对的圆周角为直角、等角对等边、同弧或等弧所对的圆周角相等、勾股定理、三角函数等知识，解题的关键在于确定角度、线段之间的关系．

2．（2023·广东深圳·一模）如图，已知是的直径，直线是的切线，切点为C，，垂足为E．连接．

??

(1)求证：平分；

(2)若，，求的半径．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）连接，由直线是的切线得到，又由得到，则，由得到，则，即可证明结论；

（2）连接，由是的直径得到，则，又由得到，由（1）得，则，在中，，则，得到，在中，由勾股定理得到，即可得到的半径．

【详解】（1）证明：连接，

??

∵直线是的切线，切点为C，

∴，

又∵，垂足为E，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴平分；

（2）解：连接，

??

∵是的直径，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

由（1）得：，

∴，

在中，，

∴，

∴，

在中，，

∴．

【点睛】此题考查了切线的性质定理、锐角三角函数、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练掌握切线的性质定理、锐角三角函数、圆周角定理是解题的关键．

3．（2023·广东深圳·模拟预测）如图所示，为的直径，、、分别与相切于点、、．连接并延长与直线相交于点，连接．

(1)求证：；

(2)若，求的值；

(3)在（2）条件下，若，求四边形的面积．

【答案】(1)见解析

(2)20

(3)

【分析】（1）由于点是的中点，所以要证，只要证明即可；

（2）由可以想到比例式，由题意可以证明，由此得，则，再证即可；

（3）易证，根相似三角形的性质得，则，又四边形是梯形，按其面积公式即可求解．

【详解】（1）证明：连接，如图①，

、分别与相切于点、，

，

在与中，

同弧所对的圆周角是其所对的圆心角的一半，

，

，

又点是的中点，

是的中位线，

．

（2）连接、、，如图②所示

是的直径，

，

又与相切于点，

，

又，

，

，

，

，

，，

又，，

，

又，

，

，

，

，

即：，

（3）、分别与相切于点、，如图②所示，

，，

，

，

，

，

即：，

又，

，

即：，

，

即：四边形的面积为．

【点睛】本题考查了圆的切线的性质、相似的性质与判定等知识点，本题的难点是相似的判定与性质的应用，这也是解（2）、（3）两个小题的关键．

4．（2023·广东深圳·模拟预测）已知中，，，且，M为线段的中点，作，点P在线段上，点Q在线段上，以为直径的圆始终过点M，且交线段于点E．

??

(1)求线段的长度；

(2)求的值；

(3)当是等腰三角形时，求出线段的长．

【答案】(1)

(2)

(3)或5

【分析】（1）在中，，然后在中利用三角函数即可求解；

（2）证明，然后根据等角的三角函