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抛物线基础知识

一、抛物线的定义、标准方程及参数的意义

定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．p的意义：焦准距

二、标准方程的求法：

1.定义法2.待定系数法：作判断（判断焦点位置）、设方程（设标准方程y2＝2px或x2＝2py，p≠0（或y2＝mx与x2＝my(m≠0)））、解方程（求出参数p或m）、写答案。

三、几何性质

标准方程

图形

范围

对称轴

轴

轴

抛物线的对称轴叫做

顶点坐标

原点

抛物线叫做抛物线的顶点

焦点坐标

准线方程

离心率

定义：，其值

焦半径

焦半径的最小值为

焦点弦

通径

在抛物线中通过焦点且垂直于轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，连结这两点的线段叫做抛物线的，长为，它是最短的焦点弦。

p

参数表示的距离，越大，开口

小结

两点两线一率一方向无渐近线、对称中心

注：=1\*GB3①标准方程：顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上

=2\*GB3②抛物线的方程：一次变量定位置，开口方向看正负

=3\*GB3③的几何意义：焦点到准线的距离，焦点到顶点及顶点到准线的距离为。

④焦点的非零坐标为一次项系数的正负，准线与坐标轴的交点与抛物线的焦点关于原点对称。

⑤思考与y2＝2px(p＞0)、y2＝mx与x2＝my(m≠0)的焦点位置与准线方程：

四、抛物线的焦点弦常用性质

抛物线的焦点为F，AB是经过抛物线焦点F的弦，M为线段AB的中点，，过点A,B,M作抛物线准线的垂线，垂足分别为，连结，求证：

（1）；

（2）以AB为直径的圆必与准线相切；

（3）以AF（或BF）为直径的圆与轴相切；

（4）；

（5）；

（6）；

（7）设与抛物线交于，则是的中点；

（8）；

（9）（焦点弦长与中点的关系）

（韦达定理）

（为直线AB的倾斜角）；

（10）（A,B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值）；

（11）通径是最短的焦点弦。

（12）设G是抛物线上任意一点，则的最小值为。

证明：（1）根据抛物线的定义，有，从而

，所以。

（2）由（1）可知成立；

（3）设AF的中点为C，过C作，垂足为，则

，得证。

（4）法1：由（2）可得。

法2：由得，同理，则，所以。

（5）由得，从而，同理，，。

（6），。

（7）连结，在中，，

，所以是的中点

（8）当时，显然成立，当AB不垂直于轴时，设其方程为，消去得，由题意，

。

（9）由（8）知

（10）由（8）知

。

（11）由（10）知，当且仅当时，等号成立。

（12）设，则，当时，“=”成立。

五．其它性质：

1.过抛物线y2＝2px的顶点O任意作两条互相垂直的弦OA，OB，则直线AB恒过定点(2p,0)．

2.抛物线的光学性质：

3.用折纸法画抛物线