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2010-2023历年上海市金山中学高二阶段测试数学试卷（带解析）

第1卷

一.参考题库(共20题)

1.已知点、为双曲线：的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且，圆的方程是.

（1）求双曲线的方程；

（2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求的值；

（3）过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于、两点，中点为，求证:.

2.在东经圈上有甲、乙两地，它们分别在北纬与北纬圈上，地球半径为，则甲、乙两地的球面距离是??????????.

3.已知复数满足：且是纯虚数，求复数.

4.将函数的图象绕轴旋转一周所形成的几何体的体积为__________.

5.定义：我们把椭圆的焦距与长轴的长度之比即，叫做椭圆的离心率.若两个椭圆的离心率相同，称这两个椭圆相似.

（1）判断椭圆与椭圆是否相似？并说明理由；

（2）若椭圆与椭圆相似，求的值；

（3）设动直线与（2）中的椭圆交于两点，试探究：在椭圆上是否存在异于的定点，使得直线的斜率之积为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由.

6.已知直线和直线，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为___________.

7.若直线?与直线垂直，则________.

8.已知抛物线.

（1）若直线与抛物线相交于两点，求弦长；

（2）已知△的三个顶点在抛物线上运动.若点在坐标原点，边过定点，点在上且，求点的轨迹方程.

9.已知椭圆（）的两个焦点为,以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另外两条边，且，则等于___________.(不扣分)

10.如图，一个球形广告气球被一束入射角为的平行光线照射，其投影是一个最长的弦长为米的椭圆，则制作这个广告气球至少需要的面料是___________.

11.正方体的面内有一点，满足，则点的轨迹是（???）

A．圆的一部分

B．椭圆的一部分

C．双曲线的一部分

D．抛物线的一部分

12.设正三棱锥的高为，侧棱与底面成角，则点到侧面的距离为___________.

13.若（为虚数单位）是关于的方程（）的一个根，则的值为??????.

14.过点且与直线平行的直线方程是（???）

A．

B．

C．

D．

15.若（是虚数单位），则的最小值是（???）

A．

B．

C．

D．

16.如图，在直三棱柱中，，，，是上一动点，则的最小值是___________.

17.在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点与点到直线的距离之和等于，，则由中的所有点所组成的图形的面积是_________.

18.与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程是________.

19.动圆经过点并且与直线相切，若动圆与直线总有公共点，则圆的面积（???）

A．有最大值

B．有最小值

C．有最小值

D．有最小值

20.如图，圆柱的轴截面为正方形，、分别为上、下底面的圆心，为上底面圆周上一点，已知，圆柱侧面积等于.

（1）求圆柱的体积；

（2）求异面直线与所成角的大小.

第1卷参考答案

一.参考题库

1.参考答案：（1）；（2）；（3）详见解析.试题分析：（1）作出解题所需图形，对照图形和双曲线的定义不难解决此问题；（2）按照数量积的定义即需求模和夹角，这都可以通过解析几何的工具性知识在形式上得到表示，然后通过设而不求和整体思想得以解决；（3）通过分析可将等式的证明转化为垂直关系的判定，仍然运用设而不求和整体思想来解决，注意要对直线的斜率是否存在分情况讨论，这样解题才严谨.

试题解析：（1）设、的坐标分别为、

因为点在双曲线上，所以，即，所以?

在中，，，所以????????????2分

由双曲线的定义可知：

故双曲线的方程为：???????????????????????????????????????4分

（2）由条件可知：两条渐近线分别为，?????????5分

设双曲线上的点，设的倾斜角为，则

则点到两条渐近线的距离分别为，?????7分

因为在双曲线上，所以

又，从而

所以???????10分

（3）由题意，即证：.

设，切线的方程为：，且???????11分

①当时，将切线的方程代入双曲线中，化简得：

所以：

又?????13分

所以?????15分

②当时，易知上述结论也成立．?所以???n

2.参考答案：试题分析：在东经圈上有甲、乙两地它们的球面距离就是东经圈这样一个大圆（实际是半个大圆）上甲、乙两地所对的劣弧长，而这两地所对的球心角即为它们的纬度之差，即弧度，从而两地的球面距离是.

考点：球面距离的计算.

3.参考答案：或者.试题分析：求复数，从复数实数化的方法考虑，即求复数的实部和虚部，这样就必须建立关于实部和虚部的方程组，而题目中恰好提供了建立方程的两个条件，只要设（），等价转化一下，即可解决问题.