课程名称高等数学Ⅰ(1).docVIP

课程名称：高等数学Ⅰ〔1〕

课程编码：7030921

课程学分：8学分

课程学时：128学时

适用专业：理工类各专业分层教学中的A层

《高等数学Ⅰ〔1〕》

CalculusⅠ〔1〕

教学大纲

本大纲根据教育部考试中心发布的《全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲》〔数学一〕制订而成。

编写本教学大纲的指导思想是：通过本课程的学习，使A层学生清楚考研大纲的要求，根本到达考研水平。

1.课程性质与任务

《高等数学I(1)》是对数学要求较高的理工类各专业学生的一门必修的重要公共根底理论课。它一方面为学好后续数学课程和专业课程提供了必要的数学根底知识，另一方面着重培养和提高学生的科学素质，使学生在素质上实现由中学向大学的转变。

通过本课程的学习，要使学生掌握一元函数微积分学的根本概念、根本理论和根本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学根底。培养学生抽象思维和概括问题的能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有熟练的运算能力和运用所学知识去分析和解决实际问题的能力。

2.课程教学根本内容及要求

本课程教学时数为128学时，根据不同章节难易程度适当安排习题课。课程内容要求的上下用不同词汇加以区分：从高到低以“掌握”、“理解”、“了解”三级区分。打“*”号的的局部为选讲内容。

〔1〕教学根本内容

第一章函数与极限

函数的概念及其表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数，根本初等函数的性质及其图形，初等函数，函数关系的建立。

数列极限与函数极限的定义与性质，函数的左极限与右极限，无穷大量与无穷小量的概念与关系，无穷小量的性质及无穷小量的比拟，极限的四那么运算，极限存在的两个准那么，两个重要极限。

函数连续的概念，函数间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。

第二章导数与微分

导数和微分的概念，导数的几何意义与物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线与法线方程，导数和微分的四那么运算，根本初等函数的导数，复合函数、反函数、隐函数以及由参数方程所确定的函数的微分法，高阶导数，一阶微分的形式不变性。

第三章微分中值定理与导数应用

微分中值定理，洛必达(L’Hospital)法那么，函数单调性的判定，函数的极值，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线，函数图形的描绘，函数的最大值与最小值，弧微分，曲率的概念与曲率半径。

第四章不定积分

原函数与不定积分的概念，不定积分的性质，根本积分公式，不定积分的换元法与分部积分法，有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分法。

第五章定积分

定积分的概念和根本性质，定积分中值定理，积分上限的函数及其导数，牛顿－莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式，定积分的换元法与分部积分法，反常积分。

第六章定积分的应用

定积分的元素法，定积分在几何学上的应用，*定积分在物理学上的应用。

第七章微分方程

常微分方程的根本概念。变量可别离的微分方程，齐次微分方程，一阶线性微分方程，伯努利〔Bernoulli〕方程，可用简单的变量代换求解的某些微分方程，可降阶的高阶微分方程。线性微分方程解的性质及解的结构定理，二阶常系数齐次线性微分方程，高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程，简单的二阶常系数非齐次线性微分方程，*欧拉〔Euler〕方程。微分方程的简单应用。

第八章空间解析几何与向量代数

向量的概念。向量的代数运算，向量的数量积、向量积和混合积。两向量垂直、平行的条件，两向量的夹角。向量的坐标表达式及其运算。单位向量，方向属于方向余弦。曲面方程与和空间曲线方程的概念。平面方程，直线方程，平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件，点到平面和点到直线的距离。球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程。常用的二次曲面方程及其图形。空间曲线的参数方程与一般方程，空间曲线在坐标面上的投影曲线方程。

〔2〕教学根本要求

第一章函数与极限

1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，了解建立简单应用问题的函数关系的方法。

2．了解函数的单调性、有界性、奇偶性和周期性。

3．掌握复合函数及分段函数的概念，理解反函数及隐函数的概念。

4．掌握根本初等函数的性质和图形，了解初等函数的概念。

5．理解极限的概念，理解函数单侧极限的概念以及函数极限存在与函数单侧极限之间的关系。

6．掌握极限的性质和四那么运算法那么。

7．掌握极限存在的两个准那么，并了解用它们求极限的方法。掌握利用两个重要极限求极限的方法。

8．理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比拟方法，了解用等价无穷小求极限的方法。

9．理解函数连续的概念〔含单侧连续性〕，了解判别函数间断点的类型的方法。