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高等数学强化讲义

一函数极限连续

§1函数

一函数的基本概念

。是一个非空实数集合，没有一个对应则/，使每一个XW。，都有一个确定

的实数y与之对应，则称这个对应则/为定义在O上的一个函数关系，或称

变量)，是变量x的函数，记作y=/(x),xwO.

二函数的基本性态

1奇偶性

(1)定义：偶/(T)=f(x)；奇/(-x)=/(x)o

(2)导函数：奇导偶，偶导奇.

(3)原函数：奇原偶，偶函数的原函数有且仅有一个为奇函数，其中

匕J偶，/(幻奇

2有界性

(1)定义：3M0tVxeX,有|/(x)|A/.

(2)无界：VM(),3xeX,M.

(3)无界与无穷：无界的本质是有一个子列趋向于无穷：

无穷的本质是随意的子列趋向无穷。

(4)常见有界的判定:设/1(“)在［〃,可连续,则/(x)在廿回有界.

设/3)在(〃/)连续，且lim/(x),lim/(x)存在，则/(x)在有界.

3周期性

(1)定义：/(x+T)=/(x)

(2)导函数：导函数还是周期函数并且周期相同

注：周期函数的原函数不肯定为周期函数.

4单调性

(1)定义：递增(递减)当％工2时，均有/(芭)/(工。(或/(内)/(马))

(2)导函数：八元)()0三+/。)单增(减)；尸(外2区)0不三/(幻单增(减).

题型一无界与无穷的判定

例1设〃幻=疝%《而元则f(x)是()

(A)偶函数(B)有界函数

(C)周期函数(D)单调函数.

例2当x-0时，变量」rsin，是(

)

(A)无穷小(B)无穷大

(C)有界的，但不是无穷小量(D)无界的，但不是无穷大

题型二函数性态的判定

例3设/(A)是一个奇的连续函数,则下面必定是奇函数的是()

(A)j(/⑺+/(T)W(B)j(/(f)_/(T)W

00

(C)f\x)(D)依据上面条件无法推断

例4设困数/)具有一阶导数，井满意〃戈)二一八-办且=若

/⑴0,则()

(B)/⑸=/(一5)＜八一5)

n

(c)/(-5)/(-5)/(-5).(D)/(-5)/(-5)=/(-5).

练习：设/(X)在(-8,+8)内可导，且对随意X1,修，当再当时，都有

/(4/(%),则()

(A)对随意x,/(x)0(B)对随意x,/,(-x)0

(C)函数/(-X)单调增加(D)函数-/(-幻单调增加.

例5设函数/(x)=2)、在下列哪个区间内有界()

x(x-l)(x-2)~

A(-1,0)