江苏省新沂市第二中学高三数学复习 专题40 与圆锥曲线有关的定值最值与范围问题学案 理 苏科版.doc

学案40与圆锥曲线有关的定值最值与范围问题

（一）考点梳理

1圆锥曲线中的最值

(1)椭圆中的最值

F1F2为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)的左右焦点，P为椭圆的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点，则有

①|OP|∈[b，a]；

②|PF1|∈[ac，a＋c]；

③|PF1|·|PF2|∈[b2，a2]；

④∠F1PF2≤∠F1BF2

(2)双曲线中的最值

F1F2为双曲线eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)的左右焦点，P为双曲线上的任一点，O为坐标原点，则有

①|OP|≥a；

②|PF1|≥ca

(3)抛物线中的最值

点P为抛物线y2＝2px(p0)上的任一点，F为焦点，则有

①|PF|≥eq\f(p,2)；

②A(m，n)为一定点，则|PA|＋|PF|有最小值

2圆锥曲线中的定点定值问题

解决这类定点与定值问题的方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找；另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向

【自学检测】

1已知P是椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的上顶点，Q是该椭圆上任意一点，则PQ的最大值为________

2已知椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的左右焦点分别为F1F2，点P为椭圆上一动点，若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是________

3椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)的右焦点为F，焦距为2c，以F为圆心，a为半径的圆与直线x＝eq\f(a2,c)交于不同的两点，则椭圆离心率的取值范围是________

4已知F1F2分别是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左右焦点，过F1作垂直于x轴的直线交椭圆于AB两点，若△ABF2为锐角三角形，则椭圆的离心率的范围是________

5在平面直角坐标系xOy中，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点P是椭圆上一点，l为左准线，PQ⊥l，垂足为Q若四边形PQFA为平行四边形，则椭圆的离心率e的取值范围是________

【合作释疑】

1若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，方程x2sinα＋y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是________

2已知椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的两个焦点为F1F2，点P(x0，y0)满足0eq\f(x\o\al(2,0),2)＋yeq\o\al(2,0)1，则PF1＋PF2的取值范围是________

3已知椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的焦点为F1，F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于A1A2的直线交椭圆于点P，则使得eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))0的点M的概率为________

4已知F1(c,0)，F2(c,0)是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)的焦点，P是椭圆上一点，且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，则椭圆离心率e的取值范围是________

5已知椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)，当a2＋eq\f(16,b?ab?)取最小值时，椭圆的离心率e＝________

6设F1F2分别是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)的左右焦点，若在直线x＝eq\f(a2,c)上存在点P使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率e的取值范围是________