江苏省新沂市第二中学高三数学复习 专题41 直线与圆锥曲线学案 理 苏科版.doc

学案41直线与圆锥曲线

【导学引领】

（一）考点梳理

考点梳理

1直线与圆锥曲线的位置关系

(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点

(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程f(x，y)＝0

由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0,f?x，y?＝0))，消元

如消去y后得ax2＋bx＋c＝0

①若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)

②若a≠0，设Δ＝b24ac

aΔ0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；

bΔ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点；

cΔ0时，直线和圆锥曲线没有公共点

2直线与圆锥曲线相交时的弦长问题

圆锥曲线的弦长的计算

设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝eq\r(?x2x1?2＋?y2y1?2)＝eq\r(1＋k2)|x1x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|y1y2|(抛物线的焦点弦长AB＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2θ)，θ为弦AB的倾斜角)

【自学检测】

1直线y＝kxk＋1与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的位置关系为________

2若直线y＝kx＋1与椭圆eq\f(x2,16)＋y2＝1只有一个公共点，则k＝________

3若y＝kx＋2与y2＝8x有且仅有一个公共点，则k的取值为________

4已知以F1(2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋eq\r(3)y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________

5已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(12，15)，则E的方程为________

【合作释疑】中点弦问题

【训练1】已知椭圆的两个焦点分别为F1(0，2eq\r(2))，F2(0,2eq\r(2))，离心率为e＝eq\f(2\r(2),3)

(1)求椭圆方程；

(2)一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点MN，且线段MN中点的横坐标为eq\f(1,2)，求直线l的倾斜角的取值范围

【训练2】椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若AB＝2eq\r(2)，OC的斜率为eq\f(\r(2),2)，求椭圆的方程

直线与圆锥曲线的综合问题

【训练1】已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)与直线x＋y1＝0相交于A，B两点

(1)当椭圆的半焦距c＝1，且a2，b2，c2成等差数列时，求椭圆的方程；

(2)在(1)的条件下，求弦AB的长度；

(3)当椭圆的离心率e满足eq\f(\r(3),3)≤e≤eq\f(\r(2),2)，且以AB为直径的圆经过坐标原点O，求椭圆长轴长的取值范围

【训练2】已知过点A(4,0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py(p0)相交于BC两点当直线l的斜率是eq\f(1,2)时，eq\o(AC,\s\up6(→))＝4eq\o(AB,\s\up6(→))

(1)求抛物线G的方程；

(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围

【当堂达标】

1已知椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0eq\f(x\o\al(2,0),2)＋yeq\o\al(2,0)1，则|PF1|＋|PF2|的取值范围为________，直线eq\f(x0x,2)＋y0y＝1与椭圆C的公共点个数为________

2已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点若AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为________

3

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：eq\f(x2,3)＋y2＝1如图所示，斜率为k(k0)且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x＝3于点D(3，m)

(1)求m2＋k2的最小值；

(2)若|OG|2＝|OD|·|OE|，求证：直线l过定点