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导数（解答题8种考法）

考法一零点（交点）的个数

【例1-1】（2023·广东梅州·统考一模）已知函数.

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)若，讨论函数的零点个数.

【例1-2】（2023·全国·模拟预测）已知函数，．

(1)若直线是曲线的一条切线，求a的值；

(2)判断函数的零点个数．

考法二零点（交点）个数求参

【例2-1】（2022·全国·统考高考真题）已知函数

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．

【例2-2】（2023·四川南充·校考模拟预测）已知函数

(1)若是的极小值点，且，求的取值范围；

(2)若有且仅有两个零点，求的取值范围

考法三零点之间的关系的证明

【例3-1】（2022·全国·统考高考真题）已知函数和有相同的最小值．

(1)求a；

(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

【例3-2】（2022秋·福建厦门·高三厦门市湖滨中学校考期中）已知和有相同的最大值.（）

(1)求的值；

(2)求证：存在直线与两条曲线和共有三个不同的交点且，使得成等比数列.

【例3-3】（2023·江苏南通·统考一模）已知函数和有相同的最大值.

(1)求实数；

(2)设直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为，证明：.

考法四利用导数证明不等式

【例4-1】（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数.

(1)若，求的极值；

(2)若在上恒成立，求的取值范围；

(3)证明：.

考法五利用导数解（能）恒成立

【例5-1】（2023·内蒙古·模拟预测）已知函数.

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)若对任意的，恒成立，求的取值范围.

【例5-2】（2023·全国·模拟预测）已知函数.

(1)若，判断的单调性；

(2)当时，不等式恒成立，求正实数a的取值范围.

【例5-3】（2022·全国·统考高考真题）已知函数．

(1)当时，讨论的单调性；

(2)当时，，求a的取值范围；

(3)设，证明：．

考法六利用导数解决双变量

【例6-1】（2021·全国·统考高考真题）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.

【例6-2】（2023·湖南·模拟预测）已知函数，其中为实数，为自然对数底数，．

(1)已知函数，，求实数取值的集合

(2)已知函数有两个不同极值点、．

①求实数的取值范围

②证明：．

【例6-3】（2022·河南新乡·统考一模）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若方程有两个不相等的实根，，求实数a的取值范围，并证明．

考法七根据极值（点）求参数

【例7-1】（2023·新疆·校联考模拟预测）已知函数，是的导函数.

(1)若，求证：当时，恒成立；

(2)若存在极小值，求的取值范围.

【例7-2】（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数.

(1)证明：恰有一个零点；

(2)设函数.若至少存在两个极值点，求实数的取值范围.

考法八切线的相关问题

【例8-1】（2023·贵州贵阳·统考一模）函数．

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)若过原点O可作三条直线与的图像相切，求实数a的取值范围．

【例8-2】（2023·广东茂名·统考一模）若函数有两个零点，且.

(1)求a的取值范围；

(2)若在和处的切线交于点，求证：.

1．（2023秋·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考期末）已知函数和函数有相同的最大值，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依次为.

(1)求实数的值；

(2)求证：.

2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．

(1)若，求a的取值范围；

(2)证明：若有两个零点，则．

3．（2021·全国·统考高考真题）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点

①；

②．

4．（2023·安徽宿州·统考一模）已知函数（e为自然对数的底数），a，.

(1)当时，讨论在上的单调性；

(2)当时，若存在，使，求a的取值范围.

5．（2023·山东潍坊·统考一模）已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)证明：当吋，.

6．（2023·湖南·模拟预测）已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)证明：当时，；

(3)若，，求实数a的取值范围.

7．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）设函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)若方程有两个不相等的实数根，，证明：.

8．（2023·广西柳州·统考模拟预测）已知，记的导函数为．

(1)讨论的单调性；

(2)若有三个零点，且，证明：．

9．（2023·四川攀枝花·攀枝花七中校