解析几何（解答题10种考法）（解析版）.docx

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解析几何（解答题10种考法）

考法一定点

【例1-1】（2022·广西·校联考模拟预测）已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆的下顶点，且的面积为4.

(1)求椭圆C的方程：

(2)圆，点A，B分别是椭圆C和圆上位于y轴右侧的动点，且直线PB的斜率是直线PA的斜率的2倍，求证：直线AB恒过定点

【答案】(1)(2)证明见解析

【解析】（1）由题意可得，

又因为，所以，所以椭圆C的方程为.

（2）证明：设直线的斜率为，则直线的斜率为，

因为为，则直线的方程为，直线的方程为，

联立直线与椭圆方程，，得，

因为点A，B分别是椭圆C和圆上位于y轴右侧的动点，所以，，所以，

代入直线的方程可得，所以为，

联立直线与圆方程，，得，

所以，代入直线的方程可得，所以为，

所以，

所以直线的方程为，整理可得，所以直线恒过定点.

【例1-2】（2023·江苏南通·统考一模）已知双曲线的左顶点为，过左焦点的直线与交于两点.当轴时，，的面积为3.

(1)求的方程；

(2)证明：以为直径的圆经过定点.

【答案】(1)(2)证明见解析

【解析】（1）当轴时，两点的横坐标均为，

代入双曲线方程，可得，，即，

由题意，可得，解得，，，双曲线的方程为：；

（2）方法一：设方程为，，

以为直径的圆的方程为，

由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点，令，可得，

而，

，

对恒成立，，以为直径的圆经过定点；

方法二：设方程为，

由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点.

设以为直径的圆过，，

而，

，

，即对恒成立，

，即以为直径的圆经过定点.

考法二定值

【例2-1】（2023·河南郑州·统考一模）已知椭圆：的离心率为，且过点．

(1)求椭圆的方程；

(2)设不过点的直线与椭圆交于，两点，关于原点的对称点为，记直线，，的斜率分别为，，，若，证明直线的斜率为定值．

【答案】(1)(2)证明见解析

【解析】（1）由题设得，，即，解得．所以的方程为．

（2）设直线的方程为，代入得．

，

设，则，于是．

，又，所以．

即．，即，

，，

将，

代入整理得，即，

当，直线过点，舍去，所以．

【例2-3】（2023·浙江·校联考模拟预测）已知双曲线的离心率为，且点在双曲线C上.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若点M，N在双曲线C上，且，直线不与y轴平行，证明：直线的斜率为定值.

【答案】(1)(2)直线的斜率为定值

【解析】（1）由题可得离心率，所以，

又因为，所以，

所以双曲线方程为，

又因为双曲线过点，所以，解得，

所以双曲线方程为.

（2）设直线的方程为，

联立得，

则得，

，得，

，

，

因为，所以，

所以，

即，

所以，

所以即，

得或，

若，则直线的方程为，

即过点，不符合题意，

若，则，满足，

综上直线的斜率为定值.

考法三定直线

【例3-1】（2022·山东·山东师范大学附中校联考模拟预测）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线的距离为．

(1)求椭圆的标准方程，

(2)设椭圆的左、右顶点分别为、，过点的动直线交椭圆于、两点，直线、相交于点，证明：点在定直线上．

【答案】(1)(2)证明见解析

【解析】(1)由题可知，、，则，

直线的方程为，即，所以，

解得，，又，所以椭圆的标准方程为．

(2)若直线与轴重合，则、、、四点共线，不合乎题意.

设直线的方程为，设点、，

联立可得，

，解得或，

由韦达定理可得，，

直线的方程为，直线的方程为，

联立可得，

因为，所以，，

所以

，解得.即点在定直线上．

【例3-2】（2022·河北沧州·统考二模）已知椭圆的离心率为，且过点.

(1)求椭圆的方程；

(2)点关于原点的对称点为点，与直线平行的直线与交于点，直线与交于点，点是否在定直线上？若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)点在定直线上.

【解析】（1）由题意得，解得，所以椭圆的方程是.

（2）点是在定直线上，理由如下，

由（1）知，设，

，将的方程与联立消，得，

则，得且，且，

因为，

所以直线的方程为，即，

直线的方程为，即，

联立直线与直线的方程，得，

得，

所以

所以点在定直线上.

考法四最值

【例4-1】（2023·全国·模拟预测）设椭圆的左焦点为F，上顶点为P，离心率为，O是坐标原点，且.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点F作两条互相垂直的直线，分别与C交于A，B，M，N四点，求四边形面积的取值范围.

【答案】(1)(2)

【解析】（1）设椭圆的焦距为，则，所以

因为，所以，

又，，所以，即

所以所以

（2）当，中有一条斜率不存在时，

设直线的方程为，此时直线与轴重合，

即，所以；

当，的斜率都存在时，设过点的两条互相垂直的直线：，直线：

由得