江苏省苏州市第五中学20242024学年高中数学 12任意角的三角函数学案 新人教A版必修4.doc

12任意角的三角函数

一学习内容要求及建议

知识方法

要求

建议

任意角的三角函数值的定义

三角函数的定义域和函数值在各象限的符号三角函数线

理解

在锐角三角函数定义的基础上引出对任意角的三角函数值的定义，理解此定义关键把握有向线段及其数量的概念；同角三角函数的基本关系教学中应突出“同角”两字，并深化对公式逆用变用；理解诱导公式时应抓住角的终边的对称性，借助于图像看三角函数值的关系

同角三角函数的基本关系

平方关系商数关系

三角函数的诱导公式

奇变偶不变，符号看象限

二预习指导

1预习目标

(1)掌握任意角的正弦余弦正切的定义；掌握各三角函数在每一象限的符号；

(2)能在单位圆中作出一个角的正弦线余弦线正切线；

(3)掌握同角三角函数的基本关系式，并能灵活应用于求值化简三角函数式证明三角恒等式

(4)能正确地运用诱导公式求任意角的三角函数值，进行简单三角函数的化简和证明

2预习提纲

(1)查阅初中教材(九年级下册)第71至74节，复习锐角三角函数——正弦余弦正切函数的定义及相关求值问题；

(2)理解任意三角函数值的定义，并与初中锐角三角函数的定义相比较，理解三角函数值与点P在终边上的位置无关；

(3)对三角函数线的理解，首先了解有向线段及其数量的概念，三角函数线是有向线段，在用字母表示这些线段时，要注意他们的方向，分清起点和终点，书写顺序不能颠倒；

(4)借助于三角函数值的定义推导同角三角函数关系，并体会公式的应用：已知角的正弦余弦正切值中的一个，求出其余两个；化简三角函数式；证明简单的三角恒等式；

(5)诱导公式的推导突出了对称思想，从图形的角度来理解诱导公式，理解角α的任意性；

(6)课本第16例1例2题型是根据角的正弦余弦正切值中的一个求出其余两个值(简称“知一求二”)时，要注意这个角所在的象限一般涉及开方运算时，要分类讨论课本第17例4由两种解法体会证明恒等式常用方法：①从一边开始，证明它等于另一边；②证明左右两边等于同一式子；③分析法，寻找等式成立的充分条件证明的指向一般“由繁到简”例4中证法1使用的是作差法，它是上述方法的变形，其依据是①：

3典型例题

例1已知角的终边经过点P(3，4)(a0)，求角的正弦值余弦值正切值

分析：利用三角函数的定义求解

解：因为x=3a，y=4a，且a0，所以

所以；；

点评：本题考查任意角三角函数定义，需要注意的是字母运算中字母的符号若去除a0的条件，那么本题又该如何解答？请同学们试一试

例2当时，比较的大小

分析：在单位圆中根据三角函数线及弧长公式将问题转化为比较几何线段的长短

解：如图，设角的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x

轴于点M，则有向线段MP＝sin过点A(1，0)作单

位圆的切线，交角的终边于点T，则有向线段

AT=tan连结AP，由弧长公式可得,

因为当时，有，

所以，即

点评：本题巧用单位圆中的三角函数线及弧长公式将抽象的问题具体化，利用显而易见的面积大小关系比较线段长短，很好地体现了数形结合的优越性

例3已知sin=2cos，求的正弦值余弦值及正切值

分析：灵活运用同角三角函数关系求解

解：由题可得cos≠0，则0，故为第二或第四象限角

又，所以

当为第二象限角，则；

当为第四象限角，则

点评：根据条件要能灵活运用同角三角函数关系解题如本题采用先求正切值，并利用其符号判断象限的方法，回避了其他不必要的讨论

例4已知，求下列各式的值

(1)；(2)

分析：可以根据例4的方法，求解出sincos的值代入，也可以先对代数式进行变形，将所求式化成只含tan的式子再代入，此处采用后一种方法

解：(1)；

(2)

点评：本题是关于的齐次式的处理，将分子分母同除以，得到只含有的式子再代值计算是处理此类问题的主要方法值得一提的是对⑵式的变形，此处灵活运用了恒等式，从而将原式转化为齐次式

例5已知；(2)

分析：(1)根据寻求与的整体关系；(2)类比(1)的方法求，进而得，最后求出

解：(1)因为，所以，

则；

(2)因为，且，所以

又，所以，

故，所以

点评：本题围绕恒等式考查了，及

之间的整体关系，其中对α角函数值符号的判断也值得关注

例6设已知是方程的两个根，求：

(1)m的值；

(2)的值

分析：(1)利用韦达定理及同角的平方关系得到关于m的方程求解；(2)先化简再代入

解：(1)由已知，有

因为，