江苏省苏州市第五中学高中数学 24向量的数量积学案 苏教版必修4.doc

24向量的数量积

一学习内容要求及建议

知识方法

要求

建议

平面向量数量积的含义及其物理意义

了解

结合物理中的功等概念理解向量的数量积概念

数量积的坐标表示

掌握

利用数量积表示两个向量夹角的余弦

理解

用数量积判断两个非零向量是否垂直

了解

二预习指导

1预习目标

(1)理解两个向量的数量积的概念及其几何意义，掌握两个向量夹角的概念，通过数量积的概念和运算解决有关的几何问题；

(2)掌握平面向量的数量积的坐标表示形式；通过平面向量数量积的坐标表示，推出平面上两点之间的距离公式并解决一些问题

2预习提纲

(1)复习平面向量的加法减法和数乘运算

(2)阅读课本P7680，弄清以下内容：①向量的数量积定义；②向量的夹角；③向量的数量积满足下列运算律；④的几何意义；⑤平面向量数量积的坐标表示；⑥平面向量的模及平方的坐标表示；⑦两点间的距离公式；⑧向量的夹角公式；⑨向量垂直的等价条件

(3)阅读课本P7680例题

例1讲了数量积的计算，直接利用数量积公式=

例2讲了数量积的坐标表示，除了书上的解法，还可以先计算出这两个向量的坐标表示，在计算它们的数量积

例3在直线上任取两个，构成一个向量，称为直线的方向向量，本例就是利用求两条直线的方向向量的夹角，间接求直线的夹角

例4用到了分类讨论的数学思想方法

3典型例题

(1)平面向量数量积的概念及几何意义

向量的数量积是一个数量而不是一个向量向量夹角的定义强调共起点,对数量积的运算律要熟练掌握

例1已知=3，，与的夹角为，求：

(1)·；(2)；(3)；(4)；(5)

分析：由条件可获得以下信息：已知向量的模及夹角，所求的问题涉及，，还涉及平方差公式多项式与多项式乘法法则

解：(1)=；

；

(3)；

(4)；

(5)=

点评：此类题目要充分利用有关的运算法则转化为数量积的问题，特别灵活运用尤其是求解模问题是一般利用转化为求模的平方

例2(1)设||=12，||=9，=54求与的夹角θ；

(2)已知向量与的夹角为120°，且||＝4，||＝2如果向量＋k与5＋垂直，求实数k的值；

(3)已知都是非零向量，且与垂直，与垂直，求的夹角的大小

分析：考查向量数量积公式的逆用及向量垂直的条件

解：(1)cosθ==

∵0?＜θ＜180?∴θ=1350

(2)由题意=||||cos120°=4×2×()=4，

∵(＋k)⊥(5＋)，∴(＋k)(5＋)=0，

即52＋(5k＋1)＋k2＝０，∴5||2＋(5k＋1)(4)＋k||2＝0，

∴5×16(20k＋4)＋4k=0，∴k=

(3)因为与垂直，与垂直，

，

(1)(2)得：(3)

将(3)代入(1)得即

又∵0?＜θ＜180?，∴θ=600

点评：求向量夹角的问题应用数量积的变形公式，故应求两个整体与；(2)转化垂直条件建立参数k的方程，此题中利用例1数量积计算公式及重要性质；本题(3)中为求两整体或寻求两者关系，转化条件解方程组，特别注意向量夹角范围

例3已知向量=(4，2)，＝(6，3)，记与的夹角为求：

(1)；(2)的大小；(3)|23|；(4)(23)(＋2)

分析：设，则，

cos==

解：(1)＝4×6＋(2)×(3)＝30；

(2)cos==，又因为，所以=0；

(3)方法一：|23|＝

＝

＝；

方法二：

||=；

(4)方法一：(23)(＋2)=22＋62

=2×[42＋(2)2]＋[4×6＋(2)(3)]6[62＋(3)2]=40＋30270＝200

方法二：=(10，5)，＋2=(4，2)+2(6，3)=(16，8)

()(＋2)=(10，5)(16，8)=16040=200

点评：此类问题是有关向量数量积的坐标运算，在灵活应用基本公式的前提下要认真细心，特别注意向量夹角的范围

例4在中,D是边BC边上一点,DC=2DB,求

分析：若由定义求解则要求解三角形，计算比较复杂，所以，思路一：转化为与的内积计算思路二：建系利用坐标运算

解：方法一：

=

方法二：以A为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，

则,,,,

由,设,

则，得D()

4自我检测

(1)已知,,,则向量与向量的夹角＝

(2)已知,,当(1)；(2)；(3)与的夹角为60°时，分别求与的数量积

(3)已知与共线，且与垂直，则m+n值为

(4)已知,,则322等于

(5)点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是△ABC的心

三课后巩固练习

A组

1已知向量和向量的夹角为，，则向量和向量的数量积=2已知||＝||＝1，且(