重难点02 相似三角形模型及其综合题综合训练（11大题型+满分技巧+限时分层检测）（解析版）.docxVIP

重难点02相似三角形模型及其综合题综合训练

中考数学中《相似三角形模型及其综合题综合训练》部分主要考向分为五类：

一、K型相似

二、8字图相似

A字图相似

母子型相似

手拉手相似

相似三角形的综合题中各种相似模型的掌握是解决对应压轴题的便捷方法，所以本专题是专门针对相似三角形模型压轴题的，对提高类型的学生可以自主训练。

考向一：K型相似

1．（2023?锡山区校级四模）如图，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8．点P在AD上运动（点P不与点A、D重合）将△ABP沿直线翻折，使得点A落在矩形内的点M处（包括矩形边界），则AP的取值范围是0＜AP≤5，连接DM并延长交矩形ABCD的AB边于点G，当∠ABM＝2∠ADG时，AP的长是25﹣5．

【分析】根据矩形的性质得到AB＝CD＝5，BC＝AD＝4，∠A＝∠C＝∠D＝90°，根据折叠的性质得到∠PMB＝∠A＝90°，BM＝AB＝5，根据勾股定理得到CM＝3，DM＝5﹣3＝2，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；根据折叠的性质得到∠ABP＝∠MBP，求得∠ABM＝2∠ABP，根据相似三角形的性质得到＝＝，设AP＝5x，AG＝4x，过M作MH⊥AD于H，根据折叠的性质得到AP＝MP＝5x，AM⊥BP，根据三角形中位线定理得到MN＝AG＝2x，根据勾股定理即可得到结论．

【解答】解：当M落在CD上时，AP的长度达到最大，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD＝10，BC＝AD＝8，∠A＝∠C＝∠D＝90°，

∵△ABP沿直线翻折，

∴∠PMB＝∠A＝90°，BM＝AB＝10，

∴CM＝＝＝6，

∴DM＝10﹣6＝4，

∴∠PMD+∠BMC＝90°，∠PMD+∠MPD＝90°，

∴∠BMC＝∠MPD，

∴△PDM∽△MCB，

∴＝，

∴＝，

∴PD＝3，

∴AP＝8﹣3＝5，

∴AP的取值范围是0＜AP≤5；

如图，∵将△ABP沿直线翻折，使得点A落在矩形内的点M处，

∴∠ABP＝∠MBP，

∴∠ABM＝2∠ABP，

∵∠ABM＝2∠ADG，

∴∠ABP＝∠ADG，

∵∠DAG＝∠BAP，

∴△ADG∽△ABP，

∴＝＝，

设AP＝5x，AG＝4x，

过M作MH⊥AD于H，

∵将△ABP沿直线翻折，使得点A落在矩形内的点M处，

∴AP＝MP＝5x，AM⊥BP，

∴∠DAM＝90°﹣∠BAM＝∠ABP＝∠ADG，

∴AM＝DM，

∴DH＝AH＝4，HP＝4﹣5x，

∵∠BAD＝∠MHA＝90°，

∴MH∥AG，

∴MH为△ADG的中位线，

∴MH＝AG＝2x，

在Rt△PHM中，PM2＝PH2+HM2，

∴（5x）2＝（2x）2+（4﹣5x）2，

解得x1＝5﹣，x2＝5+（不合题意舍去），

∴AP＝5x＝25﹣5．

故答案为：0＜AP≤5；25﹣5．

2．（2023?福田区模拟）综合与探究

在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上的点F处．

（1）如图①，若BC＝2BA，求∠CBE的度数；

（2）如图②，当AB＝5，且AF?FD＝10时，求EF的长；

（3）如图③，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，请直接写出的值．

【分析】（1）由折叠的性质得出BC＝BF，∠FBE＝∠EBC，根据直角三角形的性质得出∠AFB＝30°，可求出答案；

（2）证明△FAB∽△EDF，由相似三角形的性质得出，可求出DE＝2，求出EF＝3，由勾股定理求出DF＝，则可求出AF，即可求出BC的长；

（3）过点N作NG⊥BF于点G，证明△NFG∽△BFA，，设AN＝x，设FG＝y，则AF＝2y，由勾股定理得出（2x）2+（2y）2＝（2x+y）2，解出y＝x，则可求出答案．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠C＝90°，

∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，

∴BC＝BF，∠FBE＝∠EBC，∠C＝∠BFE＝90°，

∵BC＝2AB，

∴BF＝2AB，

∴∠AFB＝30°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠AFB＝∠CBF＝30°，

∴∠CBE＝∠FBC＝15°；

（2）∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，

∴∠BFE＝∠C＝90°，CE＝EF，

又∵矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，

∴∠AFB+∠DFE＝90°，∠DEF+∠DFE＝90°，

∴∠AFB＝∠DEF，

∴△FAB∽△EDF，

∴，

∴AF?DF＝AB?DE，

∵AF?DF＝10，AB＝5，

∴DE＝2，

∴CE＝DC﹣DE＝5﹣2＝3，

∴EF＝3；

（3）过点N作NG⊥BF于点G，

∵NF＝AN+FD，

∴NF＝AD＝BC，

∵BC＝BF，

∴NF＝BF，

∵∠NFG＝∠AFB