江苏省苏州市第五中学高中数学 第一章 导数及其运用学案苏教版选修22.doc

第1章导数及其运用

一学习内容要求及建议

知识方法

要求

建议

导数的概念

了解

借助于导数概念形成的物理背景(瞬时速度)及几何背景(曲线切线的斜率)来理解如何从平均变化率过渡到瞬时变化率，从而抽象出导数的概念

导数的几何意义

掌握

理解导数的几何意义

二预习指导

1预习目标

(1)本节主要通过对大量实例的分析，理解平均变化率的实际意义和数学意义，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程；

(2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义

2预习提纲

(1)回顾必修2中用来量化直线倾斜程度的斜率的计算公式

(2)阅读教材，回答下列问题

1)平均变化率:怎样计算一个函数在一个给定的闭区间上的平均变化率?

2)瞬时变化率的几何背景：曲线上一点处的切线的斜率

①关于割线的斜率：设曲线C上一点P(x，f(x))，过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(x＋△x，f(x＋△x))，则割线PQ的斜率是多少?

②关于点P(x，f(x))处的切线：设曲线C上一点P(x，f(x))，过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(x＋△x，f(x＋△x))用运动的观点来看，在点P处的切线可以认为是过点P处的割线PQ的当Q无限靠近点P的极限位置，那么你能计算出切线的斜率吗?说一说求曲线y=f(x)上任一点P(x0，f(x0))处的切线斜率的基本步骤

3)瞬时变化率的物理背景：瞬时速度与瞬时加速度

①回忆物理学中对瞬时速度与瞬时加速度所下的定义

②给出位移时间方程，如何求物体在时刻的瞬时速度?给出速度位移方程，如何求物体在时刻的瞬时加速度?

4)导数：从上述几何背景和物理背景中抽象出的数学概念

①请表述出函数在某一点处的导数的概念

②请表述出导函数的概念，并表述导函数的具体的对应法则

③求导数的步骤是什么?

④导数的几何意义是什么?

⑤说一说利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤

(3)阅读课本例题，思考下列问题

第7上例4给我们的启示：一次函数f(x)=kx＋b在区间[m，n]上的平均变化率等于多少?

对比第6上例3与第9上例1，给你怎样的启示?

第13上例3是求函数在一点处的导数，要注意表述格式的规范化

3典型例题

例1物体做直线运动的方程为s(t)=3t25t(位移单位是m，时间单位是s)，求物体在2s到4s的平均速度以及2s到3s的平均速度

分析：利用公式

解：2s到4s的平均速度

；

2s到3s的平均速度

例2已知函数f(x)=2x2＋1，图象上P(1，3)及邻近上点Q(1＋，3＋)，求

分析：应用公式=

解：=

例3已知函数f(x)=x3，证明：函数f(x)在任意区间上的平均变化率都是正数

分析：应用公式=求出平均变化率，再进行配方

解：==

恒为正数

例4已知曲线C：，求

(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程；

(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点?

解：(1)将x=1代入曲线C的方程得y=1，切点P(1，1)

设Q(1＋，)，=，

时，3，

过P点的切线方程为y1=3(x1)，即3xy2=0

(2)由，可得，得

从而求得公共点为(1，1)或(2，8)

点评：切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另外的点可见，直线与曲线相切不一定只有一个公共点

例5已知曲线上一点P(2，)，求

(1)点P处的切线的斜率；

(2)点P处的切线方程

分析：先求出切线的斜率，再由点斜式写出切线方程

解：(1)设P(2，)，Q(2＋，)，

则割线PQ的斜率=，

当时，4，即点P处的切线的斜率为4

(2)点P处的切线方程为，即

点评：本题若将“点P处”改为“过点P”，应该如何解答呢?

例6自由落体运动方程为，(位移单位：m，时间单位：s)，

(1)计算t从3秒到31秒301秒3001秒各时间段内的平均速度；

(2)求t=3秒时的瞬时速度

分析：要求平均速度，就是要求的值，为此需要求出当的值无限趋向于0时，其平均速度就接近于一个定值

解：(1)设在3，31内的平均速度为，则

=313=01s

=s(31)s(3)==0305gm

所以

同理

(2)

当无限趋近于0时，无限趋近于常数3g(m/s)

例7求函数在处的导数

分析：根据导数的定义，应先计算函数的增量，再计算，最后求时，的值

解：

当时，20，

例8某化工厂每日产品的总成本C(单位：元)是日产量x(单位：吨)的函数：

求当日产量为100吨时的边际成本(边际成本就是一段时间的总成本对该段时间产量的导数)

分析：根据边际成本的定义，本题只要求出当无限趋向于0时的值即可

解：成本的增量为

=

=2