2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程22椭圆222椭圆的几何性质学案选修1-1.docVIP

2.2.2椭圆的几何性质

学习目标：1.掌握椭圆的几何图形和简单几何性质．(重点)2.感受如何运用方程研究曲线的几何性质(难点)3.能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题．(重点、难点)

[自主预习·探新知]

1．椭圆的简单几何性质

焦点的位置

焦点在x轴上

焦点在y轴上

图形

标准方程

eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)

eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(ab0)

范围

－a≤x≤a且－b≤y≤b

－b≤x≤b且－a≤y≤a

顶点

(±a,0)，(0，±b)

(±b,0)，(0，±a)

轴长

长轴长＝2a，短轴长＝2

焦点

(±c,0)

(0，±c)

焦距

F1F2＝

对称性

对称轴x轴、y轴，对称中心(0,0)

离心率

e＝eq\f(c,a)(0＜e＜1)

2.椭圆的离心率

[基础自测]

1．判断正误：

(1)椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的长轴长等于a.()

(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c.()

(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．()

【解析】(1)×.椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的长轴长等于2a.

(2)√.椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a＋c，最小值为a－c.

(3)√.离心率e＝eq\f(c,a)越小c就越小，这时b就越接近于a，椭圆就越圆．

【答案】(1)×(2)√(3)√

2．椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1的离心率是________.

【导学号

【解析】由方程可知a2＝25，a＝5，c2＝a2－b2＝25－16＝9，∴c＝3，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5).

【答案】eq\f(3,5)

[合作探究·攻重难]

已知椭圆方程求其几何性质

已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m0)的离心率e＝eq\f(\r(3),2)，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．

[思路探究]eq\x(把椭圆方程标准化)→eq\x(利用离心率求m的值)→eq\x(求a，b，c)→eq\x(求性质)

【自主解答】椭圆方程可化为eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,\f(m,m＋3))＝1.

∵m－eq\f(m,m＋3)＝eq\f(m?m＋2?,m＋3)0，∴meq\f(m,m＋3)，

即a2＝m，b2＝eq\f(m,m＋3)，c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(\f(m?m＋2?,m＋3)).

由e＝eq\f(\r(3),2)得eq\r(\f(m＋2,m＋3))＝eq\f(\r(3),2)，∴m＝1.

∴椭圆的标准方程为x2＋eq\f(y2,\f(1,4))＝1.

∴a＝1，b＝eq\f(1,2)，c＝eq\f(\r(3),2).

∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；

两焦点分别为F1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，0))，F2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0))；

四个顶点分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)))，B2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).

[规律方法]用标准方程研究几何性质的步骤

eq\x(将椭圆方程化为标准形式)

?

eq\x(焦点位置)

?

eq\x(求出a，b，c)

?

eq\x(写出椭圆的几何性质)

[跟踪训练]

1．求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.

【导学号

【解】把已知方程化成标准方程eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1，于是a＝4，b＝3，c＝eq\r(16－9)＝eq\r(7)，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(7),4)，

两个焦点坐标分别是(－eq\r(7)，0)，(eq\r(7)，0)，

四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3).

由椭圆的几何性质求方程

(1)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(2,3)，点Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,3)))在椭圆上，则椭圆的标准方程为__________．

(2)若椭圆短轴的一个端点与