工程数学-第一章.pptVIP

第一章行列式;§1.二元一次方程组与二阶行列式;(1.2);式(1.2)和(1.3)给出了两个变量两个方程的方程组(1.1)的求解公式(当a11a22?a12a21?0时).但公式(1.2)与(1.3)形式复杂难记.;二、二阶行列式的概念;在方程组;(1.4);例：设;在§1中我们利用二阶行列式已得到了二元一次方程组的求解公式.但实际问题中,往往要解多个变量的一次方程组(称为线性方程组),其中最简单、最重要的是未知量的个数与方程的个数相同的线性方程组.因此有必要引入高阶行列式的概念.;一、三阶行列式;三阶行列式的计算可如以下图:;例1.求三阶行列式;以后我们将证明三元一次方程组;二、排列与逆序数;n级排列(i1i2…in)的逆序数记为?(i1i2…in),简记为?.例如,四级排列2314中,2与1,3与1构成逆序,故?(2314)=2;再如六级排列243516中,2与1,4与1,3与1,5与1,4与3均构成逆序,故?(243516)=5.;奇偶排列：逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列.;对换：将一个排列中两个位置上的数互换而其余不动,那么称对该排列作了一次对换.;每一次对换改变排列的奇偶性.;*证:先考察相邻两个数字的对换.设排列;再看一般情形的对换.设排列;由上述定理可知,在n级排列中,奇偶排列各占一半;三、n阶行列式的定义;其中?是对所有三级排列(j1j2j3)求和.;其中?是对所有二级排列(j1j2)求和.;仿此,可得;由定义3可知,n阶行列式是所有不在同一行也不在同一列的n个元素乘积的代数和,且共有n!项,其中一半带正号,一半带负号.;例2.在一个五阶行列式中a13a24a32a41a55的前面应取什么符号?;例3:计算以下n阶行列式;解:由定义，D1中取自不同行不同列的n个元素的乘积，除了a11a22…ann外，其余全为0，而a11a22…ann的列下标的排列为(12…n),;作为例3的特例，可知下面的n阶行列式(称为对角行列式);例4.计算n阶行列式;解：取D2中不在同一行不在同一列的n个元素的乘积,除a1na2,n-1…an1外,其余全为0,而a1na2,n-1…an1的列下标的排列为(n,n?1,…,1),;由例4立即可知;在n阶行列式的定义中，为了确定每一项的符号，把n个元素的行下标均按自然顺序排列。事实上，数的乘法是???交换的，因而这n个元素相乘时次序可以是任意的，;证：将;由于(2.5)是由(2.4)经过一系列元素的对换得到的,而每作一次元素对换,相应的行下标和列下标所成排列i1i2…in和j1j2…jn也同时作了一次对换,由定理1知行下标和列下标的排列的逆序数同时改变奇偶性,因而行下标与列下标的排列的逆序数之和不改变奇偶性.;从而;由定理2还可知道,假设将列下标按自然顺序排列,那么有;n阶行列式的定义有三种形式：;§3行列式的性质与行列式的展开;n阶行列式与它的转置行列式相等.;如：;*证：令;那么bij=aji(i,j=1,2…n),由定义有;由上节例3及性质1还可知;性质2;*证:设;于是;假设n阶行列式有两行(列)的对应元素相同,那么行列式为零.;把行列式的某行(列)的所有元素同乘以k,等于该行列式乘以数k.;结合性质2和性质3,有;性质4;即;如;性质5;性质5可由性质4及性质3的推论2得出.;行列式有五条性质：;行列式还有三条推论：;由上节例2可知三角行列式简单易求,因此对任一行列式,可利用行列式的性质,将其化为一个与之相等的三角行列式,从而简化行列式的计算.;例1.计算行列式;r2?r1;例2.计算n阶行列式;解：;(i?1);例3.计算n阶行列式;解：;二、行列式按行(列)展开;在n阶行列式中,去掉aij(i,j=1,2,…n)所在的行与所在列后剩下的n?1阶行列式称为元素aij的余子式,记为Mij.余子式Mij带上符号(?1)i+j那么称为元素aij的代数余子式,记为Aij,即Aij=(?1)i+jMij.;元素a11=1的余子式和代数余子式分别为;元素a12=2的余子式和代数余子式分别为;通过直接计算可知;(Laplace展开定理)行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的