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2010-2023历年上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区高考模拟理科数学试卷（带解析）

第1卷

一.参考题库(共20题)

1.已知定义在上的函数满足.当时.设在上的最大值为，且数列的前项和为，则????????.（其中）

2.“”是“函数的最小正周期为”的（???）.

A．充分必要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分又必要条件

3.设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数.已知数列的前项和，（），则数列的变号数为???????????????.

4.已知椭圆的右焦点为，短轴的端点分别为,且.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点且斜率为的直线交椭圆于两点，弦的垂直平分线与轴相交于点.设弦的中点为，试求的取值范围．

5.已知首项的无穷等比数列的各项和等于4，则这个数列的公比是??????????．

6.设函数，.

（1）解方程：；

（2）令，，求证：

（3）若是实数集上的奇函数，且对任意实数恒成立，求实数的取值范围.

7.已知，则的最小值为_____________.

8.二阶行列式的值是??????????????.（其中为虚数单位）

9.已知集合，，则????????.

10.某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛是由以点为圆心的两个同心圆弧、弧以及两条线段和围成的封闭图形．花坛设计周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为米（），圆心角为弧度．

（1）求关于的函数关系式；

（2）在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为，当为何值时，取得最大值？

11.如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，平面，，，是的中点.

（1）求证：平面；

（2）若以为坐标原点，射线、、分别是轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得是平面的法向量，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

12.正方形和内接于同一个直角三角形中，如图所示，设，若，，则????????.

13.已知圆锥的母线长为,侧面积为,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留)

14.从5男和3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动，若随机变量ξ表示所选3人中女志愿者的人数，则ξ的数学期望是??????????．

15.设各项都是正整数的无穷数列满足：对任意，有．记．

（1）若数列是首项，公比的等比数列，求数列的通项公式；

（2）若，证明：；

（3）若数列的首项，，是公差为1的等差数列．记，，问：使成立的最小正整数是否存在？并说明理由．

16.在实数集上定义运算：．若关于的不等式的解集是集合的子集，则实数的取值范围是（???）.

A．

B．

C．

D．

17.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），为坐标原点，为上的动点，点满足，点的轨迹为曲线．则的参数方程为?????????.

18.在平面直角坐标系中，若圆上存在，两点，且弦的中点为，则直线的方程为?????????????????.

19.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为、,则:=（???）.

A．1:1

B．2:1

C．3:2

D．4:1

20.二项式的展开式中含项的系数值为_______________.

第1卷参考答案

一.参考题库

1.参考答案：试题分析：依题意可得函数.所以，，，…，.所以数列是一个首项为1，公比为的等比数列.所以.所以.

考点：1.函数的性质.2.数列的通项.3.函数的最值.4.极限问题.

2.参考答案：B试题分析：因为可化为.所以可得是函数最小正周期为的充分条件.由于函数的最小正周期为,则.所以必要性不成立.故选B.

考点：1.三角函数的恒等变形.2.充要条件的知识.

3.参考答案：3试题分析：由数列的前项和，所以.当时，.所以.当（正整数）时，即.所以或.所以i=2,4又因为，所以i=1.所以数列的变号数为3.

考点：1.数列的求和公式.2.数列与不等式交汇.3.分类归纳的思想.4.递推的数学思想.

4.参考答案：（1）；（2）试题分析：（1）由椭圆的右焦点，即.又短轴的端点分别为,且，即可求出，的值.从而得到椭圆的方程.

（2）由（1）可得假设直线AB的方程联立椭圆方程消去y即可得到一个关于x的二次方程，由韦达定理得到根与直线斜率k的关系式.写出线段AB的中点坐标以及线段AB的垂直平分线的方程.即可得到点D的坐标.即可求得线段PD的长，根据弦长公式可得线段MN的长度，再通过最的求法即可得结论.

试题解析：（1）依题意不妨设，，则，.

由，得.

又因为，

解得.

所以椭圆的方程为.

（2）依题意直线的方程为.?

由得.

设，，则，.

所以弦的中点为

.

所以

.

直线的方