2025年数学高考二轮重点专题复习专题5利用导函数研究恒成立问题(典型题型归类训练)含详解.docx

专题05利用导函数研究恒成立问题

(典型题型归类训练)

一,必备秘籍

分离参数法

用分离参数法解含参不等式恒成立问题,可以根据不等式的性质将参数分离出来,得到一个一端是参数,另一端是变量表达式的不等式.

步骤：

①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）

②转化：若)对恒成立,则只需,若对恒成立,则只需．

③求最值.

二,典型题型

1．（2024·全国·模拟预测）不等式在上恒成立,则实数a的取值范围是．

2．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数．

(1)当时,求在处的切线方程.

(2)当时,求的单调区间和极值.

(3)若对任意,有恒成立,求的取值范围．

3．（2024·浙江丽水·二模）设函数.

(1)当时,求函数的单调区间.

(2)若对定义域内任意的实数,恒有,求实数的取值范围.（其中是自然对数的底数）

4．（2024·山西长治·一模）已知函数．

(1)当时,求函数的最小值.

(2)若关于x的不等式恒成立,求实数a的取值范围．

5．（2024·安徽池州·模拟预测）设函数．

(1)当时,求曲线在点处的切线方程.

(2)当时,若恒成立,求实数的取值范围．

6．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数.

(1)求时,在处的切线方程.

(2)讨论在上的最值情况.

(3)恒成立,求实数的取值范围.

三,专项训练

一,单选题

1．（2022·福建南平·三模）对任意的,当时,恒成立,则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

2．（2024·河南·模拟预测）若关于x的不等式在上恒成立,则实数a的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

3．（2024高二·江苏·专题练习）已知函数,若对任意两个不等的正数,,都有恒成立,则a的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

4．（2024·广西·模拟预测）已知,设函数,若关于的不等式在上恒成立,则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

5．（2024年新高考Ⅰ卷浙大优学靶向精准模拟数学试卷（五））已知函数,若关于x的不等式恒成立,则实数a的取值范围是（????）

A． B． C． D．

6．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）若对于任意正数,不等式恒成立,则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

7．（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）若对任意的,且,都有,则的最小值是（????）

A． B． C． D．

8．（2024·陕西·二模）,有恒成立,则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

二,多选题

9．（23-24高二下·宁夏·阶段练习）设函数,若不等式对任意的恒成立,则的可能取值是（????）

A． B． C． D．

10．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数,在其图象上任取两个不同的点,,总能使得,则实数a的取值可以为（????）

A． B．1 C． D．2

三,填空题

11．（23-24高二下·浙江·期中）已知不等式在上恒成立,则的取值范围是.

12．（2024·全国·模拟预测）不等式在上恒成立,则实数a的取值范围是．

13．（22-23高二下·广东深圳·期中）已知函数,若恒成立,则实数的取值范围．

四,解答题

14．（2024·四川泸州·三模）已知函数（）.

(1)讨论函数的零点个数.

(2)若恒成立,求函数的零点的取值范围．

15．（2024·浙江丽水·二模）设函数.

(1)当时,求函数的单调区间.

(2)若对定义域内任意的实数,恒有,求实数的取值范围.（其中是自然对数的底数）

16．（2024·山西长治·一模）已知函数．

(1)当时,求函数的最小值.

(2)若关于x的不等式恒成立,求实数a的取值范围．

17．（2024·安徽安庆·二模）已知函数．

(1)当时,求函数的单调区间.

(2)若不等式对任意的恒成立,求实数m的取值范围．

专题05利用导函数研究恒成立问题

(典型题型归类训练)

一,必备秘籍

分离参数法

用分离参数法解含参不等式恒成立问题,可以根据不等式的性质将参数分离出来,得到一个一端是参数,另一端是变量表达式的不等式.

步骤：

①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）

②转化：若)对恒成立,则只需,若对恒成立,则只需．

③求最值.

二,典型题型

1．（2024·全国·模拟预测）不等式在上恒成立,则实数a的取值范围是．

【答案】

【分析】首先要分离参数,然后同构变换得到,根据,得出,从而得解.

【详解】,即.

设.

则,令得.

当时,,则在上单调递减.

当时,,则在上单调递增.

所以,即.

则,当且仅当时,取等号.

又易知单调递增,,.

所以在上存在唯一零点,故.

又