江苏省新沂市第二中学高三数学复习 专题5 函数的单调性与最值学案 理 苏科版.doc

学案5函数的单调性与最值

【导学引领】

（一）考点梳理

1函数的单调性

(1)单调函数的定义

设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，

①若，则f(x)在区间D上是增函数；

②若，则f(x)在区间D上是减函数

(2)单调性单调区间的定义

若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间

2函数的最值

一般地，设y＝f(x)的定义域为A如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)；如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为ymin＝f(x0)

函数单调性的四种判断方法

(1)定义法：取值作差变形定号下结论

(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数

(3)导数法：利用导数研究函数的单调性

(4)图象法：利用图象研究函数的单调性

【自学检测】

1函数f(x)＝eq\r(1＋x)eq\r(1x)的最大值为M，最小值为m，则eq\f(M,m)＝________

2已知函数f(x)＝xeq\f(k,x)(k0，x0)，则f(x2＋1)与f(x)的大小关系是________

3已知函数f(x)＝2x＋lnx，若f(x2＋2)≤f(3x)，则x的取值范围是________

4函数f(x)＝2x＋log2x(x∈[1,2])的值域为________

5若f(x)＝x2＋2ax与g(x)＝eq\f(a,x＋1)在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是________

【合作释疑】

函数单调性的判断

【训练1】试讨论函数f(x)＝eq\f(ax,x1)(a≠0)在(1,1)上的单调性

【训练2】已知f(x)＝eq\f(x,xa)(x≠a)

(1)若a＝2，试证f(x)在(∞，2)内单调递增；

(2)若a0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围

函数单调性的应用

【训练1】已知f(x)是定义在[1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a，b∈[1,1]，a＋b≠0时，有eq\f(f?a?＋f?b?,a＋b)0成立

(1)判断f(x)在[1,1]上的单调性，并证明它；

(2)解不等式：feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)))；

(3)若f(x)≤m22am＋1对所有的a∈[1,1]恒成立，求实数m的取值范围

【训练2】(1)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4x，x≥0，,2xx2，x0，))若f(1a2)f(a)，则实数a的取值范围是________

(2)已知函数f(x)＝eq\f(\r(2ax),a1)(a≠1)是区间(0,1]上的减函数，则实数a的取值范围为________

函数的最值及其应用

【训练1】已知函数f(x)＝eq\f(x2＋2x＋a,x)，x∈[1，＋∞)

(1)当a＝eq\f(1,2)时，求函数f(x)的最小值；

(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围

【训练2】若对任意x∈(0,1]，函数f(x)＝x|xa|2的值恒为负数，则实数a的取值范围是________

【当堂达标】

1下列函数：①y＝x＋1；②y＝x3；③y＝eq\f(1,x)；④y＝x|x|，其中既是奇函数又是增函数的序号是________

2下列函数：①y＝cos2x，x∈R；②y＝log2|x|，x∈R且x≠0；③y＝eq\f(exex,2)，x∈R；④y＝x3＋1，x∈R，其中既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的是________

3已知函数f(x)＝e|xa|(a为常数)若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________

4设f(x)＝x21，对任意x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,m)))4m2f(x)≤f(x1)＋4f(m)恒成立，求实数m的取值范围

【课后作业】1下列函数中：①f(x)＝eq\f(1,x)；②f(x)＝(x1)2；③f(x)＝ex；④f(x)＝ln(x＋1)，满足“对任意x1x2∈(0，＋∞)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)”的函数序号是