江苏省新沂市第二中学高三数学复习 专题7 二次函数与幂函数学案 理 苏科版.doc

学案7二次函数与幂函数

【导学引领】

（一）考点梳理

1幂函数

(1)幂函数的定义

形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数

(2)常见的五种幂函数的图象

(3)五种常见幂函数的性质

函数

性质

y＝x

y＝x2

y＝x3

y＝x1

定义域

R

R

R

{x|x∈R且x≠0}

值域

R

R

{y|y∈R且y≠0}

奇偶性

单调性

增

x∈[0，＋∞)时，增x∈(∞，0]时，减

x∈(0，＋∞)时，减x∈(∞，0)时，减

定点

(0,0)，(1,1)

(1,1)

综上：若α＞0，y＝xα在(0，＋∞)上是增函数，若α＜0，y＝xα在(0，＋∞)上是减函数

2二次函数

(1)二次函数的解析式

①二次函数的一般式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)

②二次函数的顶点式为y＝，其中顶点为(h，k)

③二次函数的两根式为y＝，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根(也就是函数的零点)根据已知条件，选择恰当的形式，利用待定系数法可求解析式

(2)二次函数的图象和性质

①二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2a)，\f(4acb2,4a)))，对称轴方程为x＝eq\f(b,2a)熟练通过配方法求顶点坐标及对称轴，并会画示意图

②在对称轴的两侧单调性相反

③当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数

与二次函数有关的不等式恒成立问题

(1)ax2＋bx＋c＞0，a≠0恒成立的充要条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,b24ac＜0；))

(2)ax2＋bx＋c＜0，a≠0恒成立的充要条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，,b24ac＜0))

【自学检测】

1若函数y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则b＝________

2已知函数f(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)＝xeq\f(1,2)，则f(4)的值是________

3函数y＝xeq\f(1,3)的图象是________

4设α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2)，3))，则使函数y＝xα的定义域为R，且为奇函数的所有α值为________

5若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x22x，x≥0，,x2＋ax，x0))是奇函数，则满足f(x)a的x的取值范围是________

【合作释疑】

幂函数的图象和性质

【训练1】幂函数(m∈Z)的图象关于y轴对称，且当x＞0时，函数是减函数，则m的值为________

【训练2】已知点(eq\r(2)，2)在幂函数y＝f(x)的图象上，点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(1,2)))在幂函数y＝g(x)的图象上，若f(x)＝g(x)，则x＝________

求二次函数的解析式

【训练1】已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1,3)，且f(1＋x)＝f(1x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称求f(x)与g(x)的解析式

【训练2】已知二次函数f(x)满足f(x＋1)f(x)＝2x，且f(0)＝1

(1)求f(x)的解析式；

(2)当x∈(1,1)时，不等式mf(x)x恒成立，求m的取值范围

二次函数的图象与性质

【训练1】设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(xa)·|xa|

(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；

(2)求f(x)的最小值；

【训练2】已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[5,5]

(1)当a＝1时，求函数f(x)的最大值和最小值；

(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[5,5]上是单调函数

有关二次函数的综合问题

【训练1】若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)f(x)＝2x，且f(0)＝1

(1)求f(x)的解析式；

(2)若在区间[1,1]上，不等式f(x)2x＋m恒成立，求实数m的取值范围

【训练2】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)，F(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f?x?，x＞0，,f?x?，x＜0))若f(1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立

(1)求F(x)的表达式；

(2)当x∈[2,2]时，g(x)＝f(x)kx是单调函数，求k的取值范围

【当堂达标】

1设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\