江苏省涟水县第一中学高中数学 25特征值与特征向量导学案 理苏教版选修42.doc

25特征值与特征向量

教学目标

1掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义。

2会求二阶矩阵的特征值与特征向量。

3利用矩阵A的特征值特征向量给出Anα简单表示。

考纲要求：二阶矩阵的特征值与特征向量（B级）

教学过程：

一预习

阅读教材，解答下列问题：

问题：已知伸压变换矩阵M=,向量α=和β=在M对应的变换作用下得到的向量和分别与有什么关系?对伸压变压矩阵N=呢?

归纳：

①特征值与特征向量定义：设是一个二阶矩阵，如果对于实数,存在一个非零向量，使得,那么称为的一个特征值,而称为的属于特征值的一个特征向量

②特征向量的几何意义：特征向量的方向经过变换矩阵的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变，或者方向相反，特别地，当时，

特征向量就变成了零向量

二建构数学

特征值与特征向量求解

1特征多项式

设是二阶矩阵的一个特征值，它的一个特征向量为，则

，即满足二元一次方程组，（*）

由特征向量的定义知，因此不全为0，即要上述二元一次方程组有不全为0的解，则必须有，即，把行列式

称为的特征多项式

2特征值与特征向量求解方法

（Ⅰ）写出矩阵的特征多项式;（Ⅱ）求方程的根,即为矩阵特征值;

（Ⅲ）将的值代入二元一次方程组，得到特征向量

注:如果向量α是属于λ的特征向量,那么tα(t∈R,t≠0)也是属于λ的特征向量

三例题讲解

例1求矩阵A=的特征值和特征向量。怎样从几何直观的角度加以解释？

例2已知矩阵，向量=，，试验证下列等式成立：

①()=＋；②＝；

③对任意实数，有Ｍ()=Ｍ＋Ｍ。

有了特征值和特征向量的知识，就有，，

………，。从而可以方便计算多次变换的结果，

一般地，设是二阶矩阵的两个不同特征值，是矩阵的分别属于特征

值的特征向量，即，对于平面上任意一个非零向量，

设，则

；，…，

例3已知M＝，，试计算。

四课堂练习

1矩阵的特征值_________，对应的特征向量为________________

2求下列矩阵的特征值和特征向量

（1）； （2）

3试说明矩阵没有特征值和特征向量，并给出几何解释

四小结：

特征值与特征向量作业

1说明矩阵没有实数特征值和特征向量

2求矩阵＝的特征值和特征向量

3求投影变换矩阵＝的特征值和特征向量，并计算的值，解释它的几何意义。

4若矩阵有特征向量i=和j=,且它们所对应的特征值分别为(1)求矩阵及其逆矩阵;(2)求逆矩阵的特征值及特征向量