《双曲线》知识探究.docxVIP

高中数学精编资源

PAGE3/NUMPAGES3

《双曲线》知识探究

探究点1双曲线的标准方程

焦点位置

焦点在轴上

焦点在轴上

标准方程

焦点

、、的关系

要点辨析

1.双曲线的标准方程是指在“标准”条件下的方程,即使得双曲线的焦点在坐标轴上,且对称中心为原点的双曲线方程.

2.确定双曲线标准方程的类型

焦点的位置是双曲线的定位条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”,即若的系数为正,则焦点在轴上;若的系数为正,则焦点在轴上.

3.双曲线标准方程中的参数的几何意义

在双曲线的标准方程中,因为三个量满足,所以长度分别为的三条线段恰好构成一个直角三角形,且长度为的线段是斜边,如图所示:

学科素养:熟练利用双曲线标准方程解题,体现逻辑推理、数学运算的核心素养.

典例1[推测解释能力、分析计算能力]根据下列条件,求双曲线的标准方程:

(1),经过点;

(2)与双曲线有相同的焦点,且经过点.

思路:本题利用双曲线的基础知识解题,根据焦点的不同位置选取标准方程运算求解.第(1)问利用定义法分析计算双曲线的标准方程,第(2)问利用待定系数法分析计算双曲线的标准方程.

解析:(1)当焦点在轴上时,设所求标准方程为,把点的坐标代入,得,不符合题意;当焦点在轴上时,设所求标准方程为,把点的坐标代入,得.故所求双曲线的标准方程为.

(2)方法一:∵焦点相同,

∴设所求双曲线的标准方程为,

∴,即.①

∵双曲线经过点.②

由①②得双曲线的标准方程为.

方法二:设所求双曲线的方程为.

∵双曲线过点,

解得或(舍去).

∴双曲线的标准方程为.

探究点2双曲线定义的应用

双曲线的定义:

文字语言

平面内与两个定点,、的距离的差的绝对值等于非零常数(小于的点的轨迹.

符号语言

||常数(常数

焦点

定点

焦距

两焦点间的距离

要点辨析

求双曲线中的焦点面积的方法:

(1)①根据双曲线的定义求出||;②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式;③通过配方,求出的值;④利用公式求得面积.

(2)利用公式求得面积.

学科素养:熟练利用双曲线的定义和性质解题,体现数学运算的核心素养.

典例2[分析计算能力]中,,点在双曲线上,则()

A.

B.

C.

D.

解析:首先分析题目,根据双曲线的定义,可得;接下来,根据正弦定理可得,再结合双曲线的定义及性质,即可解答此题.

在中,(其中为外接圆的半径).

∴.

又∵,∴.

答案:D

探究点3与双曲线有关的轨迹问题

求解与双曲线有关的点的轨迹问题,常见的方法有两种:

(1)列出等量关系,化简得到方程.

(2)寻找几何关系,结合双曲线的定义,得出对应的方程.

要点辨析

巧设双曲线方程的方法:

(1)当双曲线的焦点不明确时,方程可能有两种形式,此时应注意分类讨论,为了避免讨论,也可设双曲线的方程为.

(2)常见双曲线方程的设法.

①渐近线为的双曲线方程可设为;如果两条渐近线的方程为,那么双曲线的方程可设为.

②与双曲线或共渐近线的双曲线方程可设为或.

③与双曲线离心率相等的双曲线方程可设为或,这是因为由离心率不能确定焦点位置.

④与椭圆共焦点的双曲线方程可设为.

学科素养:利用求轨迹方程的步骤求双曲线方程,体现数学运算、数学建模的核心素养.

典例3[简单问题解决能力]如图所示,在中,已知,且三个内角、、满足,建立适当的坐标系,求顶点的轨迹方程.

思路:利用坐标法求解双曲线的标准方程.

解析:以边所在的直线为轴,的垂直平分线为轴,建立平面直角坐标系,如图所示,

则.

由正弦定理,得(为的外接圆半径).

∵,

∴,即.

由双曲线的定义知,点的轨迹为双曲线的右支(除去与轴的交点).

由题意,设所求轨迹方程为,.即所求轨迹方程为.

探究点4双曲线的几何性质

标准

方程

图形

性质

范围

或

或

对称性

对称轴:坐标轴;对称中心:原点

顶点

轴

实轴长,虚轴长

离心率

渐近线

要点辨析

由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤:

(1)把双曲线方程化为标准形式.

(2)由标准方程确定焦点位置,确定、的值.

(3)由求出值,从而写出双曲线的几何性质.

学科素养:利用双曲线的几何性质解题,体现数学运算、逻辑推理的核心素养.

典例4[推测解释能力、分析计算能力]求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.

思路:本题考查双曲线的标准方程,以及双曲线的几何性质的应用.通过分析计算即可求出答案.

解析:双曲线的方程化为标准形式是,

又双曲线的焦点在轴上,

∴顶点坐标为,

焦点坐标为,

实轴长,虚轴长,

离心率,渐近线方程为.

探究点