专题09 两个量之间的函数关系问题-2023年中考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练 （上海地区专用）（解析版）.pdfVIP

专题09两个量之间的函数关系问题

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必威体育精装版模考题热点题型归纳

【题型一】两条线段之间的函数关系

【题型二】面积与线段之间的函数关系

【题型三】线段与三角函数值之间的函数关系

【题型一】线段与线段之间函数关系

【典例分析】

（2023黄浦区一模）如图，已知∠AOB＝90°，∠AOB的内部有一点P，且OA＝OB＝OP＝10，过点B作BC∥AP

交AO于点C，OP与BC交于点D．

（1）如果tan∠AOP＝，OC的长；

（2）设AP＝x，BC＝y，y与x的函数关系式，并写出定义域；

（3）如果BD＝AP，求△PBD的面积．

【分析】（1）过A作AH⊥OP于H，由勾股定理得AH•OH的值，根据相似三角形的判定，可得△HAP∽△OBC，

根据相似三角形的判定得＝，即可得OC的值．

（2）过A作AN⊥OP于N，过O作OM⊥AP于M，由（1）知△NAP∽△OBC，可得＝，即AN＝，根

据圆的性质过圆心垂直于弦的直线也平分弦，可得AM＝MP＝，在Rt△AOM中，OM＝，S△OAP＝

AP•OM＝OP•AN，化简得y＝（0＜x＜5）；

（3）如图3，连接AB、AD，AB与OP交于Q，根据平行四边形的判定可得四边形ADBP是平行四边形，且△AOB

是等腰Rt△，即Q是弦AB边PD的中点，根据平行四边形对角线互相平分，可得△AOQ、△BOQ均为等腰Rt△，

即OQ＝＝5，PQ＝OP﹣OQ＝10﹣5，即S△PBD＝•PD•BQ可得出结果．

【解答】解：（1）如图1，

过A作AH⊥OP于H，

则有tan∠AOP＝＝，

设AH＝3a，

则OH＝4a，

222

在Rt△AOH中有（3a）+（4a）＝10，

解之得a＝﹣2（舍），a＝2，

12

∴AH＝6，OH＝8，PH＝2，

∵CD∥AP，OA＝OP，

∴∠OCD＝∠OAP＝∠APO，

∵∠HAP+∠OPA＝∠OCB+∠CBO＝90°，

∴∠HAP＝∠OBC，

∴△HAP∽△OBC，

∴＝，

∴OC＝；

（2）如图2，

∵OA＝OB＝OP，

∴A、P、B三点共圆，

过A作AN⊥OP于N，过O作OM⊥AP于M，

由（1）知△NAP∽△OBC，

∴＝，

∴AN＝，

∵OM⊥弦AP，

∴AM＝MP＝（圆的性质，过圆心垂直于弦的直线也平分该弦），

∴OM＝＝，

∴S△OAP＝AP•OM＝OP•AN，

即•x•＝×10•，

化简移项得y＝，

其中x最大为AB的长为10，

∴0＜x＜10，

即y＝（0＜x＜5）；

（3）如图3，

连接AB、AD，AB与OP交于Q，

∵BD平行且等于AP，

∴四边形ADBP是平行四边形且△AOB是等腰Rt△，

∴Q是弦AB边PD的中点，

∴BQ＝AQ＝AB＝5，DQ＝PQ，

∴OQ⊥AB，

∴△AOQ、△BOQ均为等腰Rt△，

∴OQ＝＝5，

∴PQ＝OP﹣OQ＝10﹣5，

∴S△PBD＝•PD•BQ＝PQ•BQ＝（10﹣5）×5＝50﹣50．

【点评】本题考查圆的应用，解本题的关键要掌握圆的性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股

定理等．

【提分秘籍】