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2025届石嘴山市三中高三数学上学期第二次月考试卷

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一项是符合题目要求.

1.已知复数z满足，则（）

A B.1 C. D.2

2.已知集合，则中元素的个数为（）

A. B. C. D.无数个

3.已知是数列前项和，则“”是“数列是公差为2的等差数列”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.函数的图象不可能是（）

A. B. C. D.

5.已知，则（）

A. B. C. D.

6.已知数列是等比数列，，，若，则（）

A.4 B.5 C.6 D.7

7.已知的斜边为，且，，则直角边中点的轨迹方程是（）

A. B.

C.（且） D.（且）

8.已知函数，则下列说法错误的是（）

A.是函数的周期

B.函数在区间上单调递增

C.函数的图象可由函数向左平移个单位长度得到

D.函数的对称轴方程为

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知圆与圆，下列说法正确的是（）

A.与的公切线恰有4条

B.与相交弦的方程为

C.与相交弦弦长为

D.若分别是圆上的动点，则

10.如图是正四面体（各面均为正三角形）的平面展开图，、、、分别为、、、的中点．在这个正四面体中，则（）

A.与为异面直线 B.与平行

C.与成角 D.与垂直

11.已知函数，均是上的连续函数，，分别为函数和的导函数，且，，若为奇函数，则（）

A.是周期函数 B.为奇函数

C.关于对称 D.存在，使

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知平面向量，则向量在向量上的投影向量为____．

13.等比数列中，，，则______．

14.如图，蹴鞠，又名“鞠球”“鞠圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动．已知各顶点都在某“蹴”的表面上的正四棱柱的底面边长为，高为，球的体积为，则这个正四棱柱的侧面积的最大值为_______．

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知△ABC中，分别为内角对边，且.

（1）求角的大小；

（2）设点为上一点，是的角平分线，且，，求的面积.

16.已知数列满足：，且，等差数列的公差为正数，其前项和为，，且、、成等比数列．

（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）若，数列的前项和为，求证：．

17.设函数.

（1）求的极值；

（2）若对任意，有恒成立，求的最大值.

18.如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）在线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．

19.如图，已知椭圆经过点，离心率．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）我们把各边与椭圆的对称轴垂直或平行的内接四边形叫做椭圆的内接矩形，设四边形是椭圆的一个内接矩形，求矩形的周长的最大值；

（3）设是经过右焦点的任一弦（不经过点），直线与直线相交于点，记，，的斜率分别为，，，求证：．

【答案】

1.C

【解析】

【分析】根据复数的四则运算法则得到复数，再求复数的共轭复数的模即可.

【详解】由已知条件，,

共轭复数，

所以.

故选：C.

2.B

【解析】

【分析】根据给定条件，建立不等式，求出不等式的整数解个数即可.

【详解】依题意，，

即，且，

令，求导得，

当时，，函数在上单调递增

当时，，函数在上单调递减，

，

显然当时，，

所以，中元素的个数为.

故选：B

3.A

【解析】

【分析】利用与的关系，得到，进而利用等差数列的性质进行判断即可

【详解】已知，所以，当时，

，

所以数列是公差为2的等差数列；当数列是公差为2的等差数列时，因为不知首项，所以数列的前n项和不确定，所以是充分不必要条件

故选：A

4.D

【解析】

【分析】函数表达式中含有参数a，要对参数进行分类讨论，

【详解】若，则，选项C符合；

若，则函数定义域为R，选项B符合

若，则，选项A符合，所以不可能是选项D.

故选：D.

5.D

【解析】

【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即可．